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2.1. ORDER THEORY

13

2.1.1.1.

Intersecting and joining elements.

Let

A

be a poset.

Definition

23

.

Call elements

a

and

b

of

A

intersecting

, denoted

a

6

b

, when

there exists a non-least element

c

such that

c

v

a

c

v

b

.

Definition

24

.

a

b

def

=

¬

(

a

6

b

).

Obvious

25

.

a

0

6

b

0

a

1

w

a

0

b

1

w

b

0

a

1

6

b

1

.

Definition

26

.

I call elements

a

and

b

of

A

joining

and denote

a

b

when

there is no a non-greatest element

c

such that

c

w

a

c

w

b

.

Definition

27

.

a

6≡

b

def

=

¬

(

a

b

).

Obvious

28

.

Intersecting is the dual of non-joining.

Obvious

29

.

a

0

b

0

a

1

w

a

0

b

1

w

b

0

a

1

b

1

.

2.1.2. Linear order.

Definition

30

.

A poset

A

is called

linearly ordered set

(or what is the same,

totally ordered set

) if

a

w

b

b

w

a

for every

a, b

A

.

Example

31

.

The set of real numbers with the customary order is a linearly

ordered set.

Definition

32

.

A set

X

P

A

where

A

is a poset is called

chain

if

A

restricted

to

X

is a total order.

2.1.3. Meets and joins.

Let

A

be a poset.

Definition

33

.

Given a set

X

P

A

the

least element

(also called

minimum

and denoted min

X

) of

X

us such

a

X

that

x

X

:

a

v

x

.

Least element does not necessarily exists. But if it exists:

Proposition

34

.

For a given

X

P

A

there exist no more than one least

element.

Proof.

It follows from anti-symmetry.

Greatest element

is the dual of least element:

Definition

35

.

Given a set

X

P

A

the

greatest element

(also called

maxi-

mum

and denoted max

X

) of

X

us such

a

X

that

x

X

:

a

w

x

.

Remark

36

.

Least and greatest elements of a set

X

is a trivial generalization

of the above defined least and greatest element for the entire poset.

Definition

37

.

A

minimal

element of a set

X

P

A

is such

a

A

that

@

x

X

: (

a

w

x

x

6

=

a

).

A

maximal

element of a set

X

P

A

is such

a

A

that

@

x

X

: (

a

v

x

x

6

=

a

).

Remark

38

.

Minimal element is not the same as minimum, and maximal

element is not the same as maximum.

Obvious

39

.

1

. The least element (if it exists) is a minimal element.

2

. The greatest element (if it exists) is a maximal element.

Exercise

40

.

Show that there may be more than one minimal and more than

one maximal element for some poset.