background image

6.14. MONOVALUED AND INJECTIVE FUNCOIDS

129

Theorem

709

.

Let

µ

,

ν

,

π

be endofuncoids. Let

f

be a co-complete open

funcoid from Ob

µ

to Ob

ν

and

g

is an open funcoid from Ob

ν

to Ob

π

. Then

g

f

is an open funcoid from Ob

µ

to Ob

π

.

Proof.

Let Compl(

f

µ

)

w

Compl(

ν

f

) and Compl(

g

ν

)

w

Compl(

π

g

).

Compl(

g

f

µ

)

w

Compl(

g

Compl(

f

µ

))

w

Compl(

g

Compl(

ν

f

)) =

Compl(

g

Compl(

ν

)

f

) =

Compl(

g

Compl(

ν

))

f

=

Compl(

g

ν

)

f

w

Compl(

π

g

)

f

=

Compl(

π

g

f

)

.

Obvious

710

.

A funcoid

f

is open iff

f

µ

w

Compl(

ν

f

).

Corollary

711

.

A co-complete funcoid

f

is open iff

f

µ

w

(Compl

ν

)

f

.

Thus

f

is open iff it is a continuous morphism from

µ

to Compl

ν

with the reverse

order of funcoids

. (See a definition of a continuous morphism below.)

6.14. Monovalued and injective funcoids

Following the idea of definition of monovalued morphism let’s call

monovalued

such a funcoid f that

f

f

1

v

id

FCD

im

f

.

Similarly, I will call a funcoid injective when

f

1

f

v

id

FCD

dom

f

.

Obvious

712

.

A funcoid

f

is:

1

. monovalued iff

f

f

1

v

id

FCD

(Dst

f

)

;

2

. injective iff

f

1

f

v

id

FCD

(Src

f

)

.

In other words, a funcoid is monovalued (injective) when it is a monovalued

(injective) morphism of the category of funcoids. Monovaluedness is dual of injec-

tivity.

Obvious

713

.

1

. A morphism (

A

;

B

;

f

) of the category of funcoid triples is monovalued iff

the funcoid

f

is monovalued.

2

. A morphism (

A

;

B

;

f

) of the category of funcoid triples is injective iff the

funcoid

f

is injective.

Theorem

714

.

The following statements are equivalent for a funcoid

f

:

1

.

f

is monovalued.

2

.

a

atoms

F

(Src

f

)

:

h

f

i

a

atoms

F

(Dst

f

)

∪{⊥

F

(Dst

f

)

}

.

3

.

∀I

,

J ∈

F

(Dst

f

) :

f

1

(

I u J

) =

f

1

I u

f

1

J

.

4

.

I, J

P

(Dst

f

) :

f

1

(

I

J

) =

f

1

I

u

f

1

J

.

Proof.