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6.11. COMPLETE FUNCOIDS

123

2

.

g

is co-metacomplete if

g

is a co-complete funcoid.

Proof.

1

Let R be funcoids from a set

A

to a set

B

and g from

B

to some

C

. Then

D

g

G

R

E

X

=

h

g

i

DG

R

E

X

=

h

g

i

G

h

f

i

X

f

R

=

G

h

g

ih

f

i

X

f

R

=

G

h

g

f

i

X

f

R

=

G

g

f

f

R

X

=

DG

h

g

◦i

R

E

X

for every set

X

A

. So

g

F

R

=

F

h

g

◦i

R

.

2

By duality.

Conjecture

677

.

g

is complete if

g

is a metacomplete funcoid.

I will denote

ComplFCD

and

CoComplFCD

the sets of small complete and co-

complete funcoids correspondingly.

ComplFCD

(

A

;

B

) are complete funcoids from

A

to

B

and likewise with

CoComplFCD

(

A

;

B

).

Obvious

678

.

ComplFCD

and

CoComplFCD

are closed regarding composition

of funcoids.

Proposition

679

.

ComplFCD

and

CoComplFCD

(with induced order) are com-

plete lattices.

Proof.

It follows from the theorem

673

.

Theorem

680

.

Atoms of the lattice

ComplFCD

(

A

;

B

) are exactly funcoidal

products of the form

A

{

α

} ×

FCD

b

where

α

A

and

b

is an ultrafilter on

B

.

Proof.

First, it’s easy to see that

A

{

α

} ×

FCD

b

are elements of

ComplFCD

(

A

;

B

). Also

FCD

(

A

;

B

)

is an element of

ComplFCD

(

A

;

B

).

A

{

α

} ×

FCD

b

are atoms of

ComplFCD

(

A

;

B

) because they are atoms of

FCD

(

A

;

B

).

It remains to prove that if

f

is an atom of

ComplFCD

(

A

;

B

) then

f

=

A

{

α

} ×

FCD

b

for some

α

A

and an ultrafilter

b

on

B

.

Suppose

f

FCD

(

A

;

B

) is a non-empty complete funcoid. Then there exists

α

A

such that

h

f

i

{

α

} 6

=

F

(

B

)

. Thus

A

{

α

}

×

FCD

b

v

f

for some ultrafilter

b

on

B

. If

f

is an atom then

f

=

A

{

α

}

×

FCD

b

.

FiXme

: Say instead of two theorems below (and also for cocomplete counter-

parts and for reloids):

G

7→

F

n

Src

f

{

α

FCD

G

(

α

)

α

Src

f

o

is a bijection from the set of

functions

G

: Src

f

F

(Dst

f

) to the set

ComplFCD

(

A

;

B

). Describe also the

inverse bijections. Also say that these bijections are order isomorphisms (after

defining the order on the set of functions Src

f

F

(Dst

f

)).