 6.11. COMPLETE FUNCOIDS

122

Theorem

672

.

A funcoid is principal iff it is both complete and co-complete.

Proof.

. Obvious.

. Let

f

be both a complete and co-complete funcoid. Consider the relation

g

defined by that

Dst

f

h

g

i

{

α

}

=

h

f

i

{

α

}

(

g

is correctly defined because

f

corresponds to a generalized closure). Because

f

is a complete funcoid

f

is the funcoid corresponding to

g

.

Theorem

673

.

If

R

P

FCD

(

A

;

B

) is a set of (co-)complete funcoids then

F

R

is a (co-)complete funcoid (for every sets

A

and

B

).

Proof.

It is enough to prove for co-complete funcoids. Let

R

P

FCD

(

A

;

B

)

be a set of co-complete funcoids. Then for every

X

P

(Src

f

)

DG

R

E

X

=

G

h

f

i

X

f

R

is a principal filter (used theorem

604

).

Corollary

674

.

If

R

is a set of binary relations between sets

A

and

B

then

F

FCD

(

A

;

B

)

R

=

FCD

(

A

;

B

)

S

R

.

Proof.

From two last theorems.

Theorem

675

.

Filtrators of funcoids are filtered.

Proof.

It’s enough to prove that every funcoid is representable as an (infinite)

meet (on the lattice

FCD

(

A

;

B

)) of some set of principal funcoids.

Let

f

FCD

(

A

;

B

),

X

P

A

,

Y

∈ h

f

i

X

,

g

(

X

;

Y

)

def

=

A

X

×

FCD

B

Y

t ↑

A

X

×

FCD

>

F

(

B

)

. For every

K

P

A

h

g

(

X

;

Y

)

i

K

=

A

X

×

FCD

B

Y

K

t

D

A

X

×

FCD

>

F

(

B

)

E

K

=

F

(

B

)

if

K

=

B

Y

if

∅ 6

=

K

X

>

F

(

B

)

if

K

*

X

w h

f

i

K

;

so

g

(

X

;

Y

)

w

f

. For every

X

P

A

l

h

g

(

X

;

Y

)

i

X

Y

∈ h

f

i

X

=

l

B

Y

Y

∈ h

f

i

X

=

h

f

i

X

;

consequently

l

g

(

X

;

Y

)

X

P

A, Y

∈ h

f

i

X

X

v h

f

i

X

that is

l

g

(

X

;

Y

)

X

P

A, Y

∈ h

f

i

X

v

f

and finally

f

=

l

g

(

X

;

Y

)

X

P

A, Y

∈ h

f

i

X

.

Theorem

676

.

1

.

g

is metacomplete if

g

is a complete funcoid.