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6.11. COMPLETE FUNCOIDS

120

Corollary

661

.

g

f

=

F

n

G

F

F

atoms

f,G

atoms

g

o

for every composable funcoids

f

,

g

.

Theorem

662

.

Let

f

be a funcoid.

1

.

X

[

f

]

Y ⇔ ∃

F

atoms

f

:

X

[

F

]

Y

for every

X ∈

F

(Src

f

),

Y ∈

F

(Dst

f

);

2

.

h

f

iX

=

F

F

atoms

f

h

F

iX

for every

X ∈

F

(Src

f

).

Proof.

1

.

F

atoms

f

:

X

[

F

]

Y ⇔

a

F

(Src

f

)

, b

F

(Dst

f

) : (

a

×

FCD

b

6

f

∧ X

a

×

FCD

b

Y

)

a

F

(Src

f

)

, b

F

(Dst

f

) : (

a

×

FCD

b

6

f

a

×

FCD

b

6 X ×

FCD

Y

)

F

atoms

f

: (

F

6

f

F

6 X ×

FCD

Y

)

f

6 X ×

FCD

Y ⇔

X

[

f

]

Y

.

2

Let

Y ∈

F

(Dst

f

). Suppose

Y 6 h

f

iX

. Then

X

[

f

]

Y

;

F

atoms

f

:

X

[

F

]

Y

;

F

atoms

f

:

Y 6 h

F

iX

;

Y 6

F

F

atoms

f

h

F

iX

. So

h

f

iX v

F

F

atoms

f

h

F

iX

. The contrary

h

f

iX w

F

F

atoms

f

h

F

iX

is obvious.

Problem

663

.

Let

A

and

B

be infinite sets. Characterize the set of all coatoms

of the lattice

FCD

(

A

;

B

) of funcoids from

A

to

B

. Particularly, is this set empty?

Is

FCD

(

A

;

B

) a coatomic lattice? coatomistic lattice?

6.11. Complete funcoids

Definition

664

.

I will call

co-complete

such a funcoid f that

h

f

i

X

is a prin-

cipal filter for every

X

P

(Src

f

).

Obvious

665

.

Funcoid

f

is co-complete iff

h

f

iX ∈

P

for every

X ∈

P

.

Definition

666

.

I will call

generalized closure

such a function

α

(

P

B

)

P

A

(for some sets

A

,

B

) that

1

.

α

=

;

2

.

I, J

P

A

:

α

(

I

J

) =

αI

αJ

.

Obvious

667

.

A funcoid

f

is co-complete iff

h

f

i

=

Dst

f

α

for a generalized

closure

α

.

Remark

668

.

Thus funcoids can be considered as a generalization of general-

ized closures. A topological space in Kuratowski sense is the same as reflexive and

transitive generalized closure. So topological spaces can be considered as a special

case of funcoids.

Definition

669

.

I will call a

complete funcoid

a funcoid whose reverse is co-

complete.

Theorem

670

.

The following conditions are equivalent for every funcoid

f

:

1

. funcoid

f

is complete;

2

.

S

P

F

(Src

f

)

, J

P

(Dst

f

)

:

F

S

[

f

]

Dst

f

J

⇔ ∃I ∈

S

:

I

[

f

]

Dst

f

J

;

3

.

PP

(Src

f

)

, J

P

(Dst

f

) :

S

S

[

f

]

J

⇔ ∃

I

S

:

I

[

f

]

J

;

4

.

S

P

F

(Src

f

) :

h

f

i

F

S

=

F

hh

f

ii

S

;

5

.

S

PP

(Src

f

) :

h

f

i

S

S

=

F

h

f

i

S

;