background image

6.10. ATOMIC FUNCOIDS

117

Thus

F

FCD

S

=

A ×

FCD

F

S

and

d

FCD

S

=

A ×

FCD

d

S

.

If

A 6

=

F

(

A

)

then obviously the function

FCD

is injective.

The following proposition states that cutting a rectangle of atomic width from

a funcoid always produces a rectangular (representable as a funcoidal product of

filters) funcoid (of atomic width).

Proposition

649

.

If

f

is a funcoid and

a

is an atomic filter on Src

f

then

f

|

a

=

a

×

FCD

h

f

i

a.

Proof.

Let

X ∈

F

(Src

f

).

X 6

a

⇒ h

f

|

a

iX

=

h

f

i

a,

a

⇒ h

f

|

a

iX

=

F

(Dst

f

)

.

6.10. Atomic funcoids

Theorem

650

.

An

f

FCD

(

A

;

B

) is an atom of the lattice

FCD

(

A

;

B

) (for

some sets

A

,

B

) iff it is a funcoidal product of two ultrafilters.

Proof.

. Let

f

FCD

(

A

;

B

) be an atom of the lattice

FCD

(

A

;

B

). Let’s get elements

a

atoms dom

f

and

b

atoms

h

f

i

a

. Then for every

X ∈

F

(

A

)

a

a

×

FCD

b

X

=

F

(

B

)

v h

f

iX

,

X 6

a

a

×

FCD

b

X

=

b

v h

f

iX

.

So

a

×

FCD

b

v

f

; because f is atomic we have

f

=

a

×

FCD

b

.

. Let

a

atoms

F

(

A

)

,

b

atoms

F

(

B

)

,

f

FCD

(

A

;

B

). If

b

 h

f

i

a

then

¬

(

a

[

f

]

b

),

f

a

×

FCD

b

; if

b

v h

f

i

a

then

∀X ∈

F

(

A

) : (

X 6

a

⇒ h

f

iX w

b

),

f

w

a

×

FCD

b

. Consequently

f

a

×

FCD

b

f

w

a

×

FCD

b

; that is

a

×

FCD

b

is an atom.

Theorem

651

.

The lattice

FCD

(

A

;

B

) is atomic (for every sets

A

,

B

).

Proof.

Let

f

be a non-empty funcoid from

A

to

B

. Then dom

f

6

=

F

(

A

)

,

thus by the theorem

474

there exists

a

atoms dom

f

. So

h

f

i

a

6

=

F

(

B

)

thus it

exists

b

atoms

h

f

i

a

. Finally the atomic funcoid

a

×

FCD

b

v

f

.

Theorem

652

.

The lattice

FCD

(

A

;

B

) is separable (for every sets

A

,

B

).

Proof.

Let

f, g

FCD

(

A

;

B

),

f

@

g

. Then there exists

a

atoms

F

(

A

)

such

that

h

f

i

a

@

h

g

i

a

. So because the lattice

F

(

B

) is atomically separable, there exists

b

atoms

F

(

B

)

such that

h

f

i

a

u

b

=

F

(

B

)

and

b

v h

g

i

a

. For every

x

atoms

F

(

A

)

h

f

i

a

u

a

×

FCD

b

a

=

h

f

i

a

u

b

=

F

(

B

)

,

x

6

=

a

⇒ h

f

i

x

u

a

×

FCD

b

x

=

h

f

i

x

u ⊥

F

(

B

)

=

F

(

B

)

.

Thus

h

f

i

x

u

a

×

FCD

b

x

=

F

(

B

)

and consequently

f

a

×

FCD

b

.

a

×

FCD

b

a

=

b

v h

g

i

a,

x

6

=

a

a

×

FCD

b

x

=

F

(

B

)

v h

g

i

x.

Thus

a

×

FCD

b

x

v h

g

i

x

and consequently

a

×

FCD

b

v

g

.

So the lattice

FCD

(

A

;

B

) is separable by the theorem

173

.

Corollary

653

.

The lattice

FCD

(

A

;

B

) is:

1

. separable;

2

. atomically separable;