background image

6.9. FUNCOIDAL PRODUCT OF FILTERS

116

Theorem

646

.

Let

A

,

B

be sets. If

S

P

(

F

(

A

)

×

F

(

B

)) then

l

A ×

FCD

B

(

A

;

B

)

S

=

l

dom

S

×

FCD

l

im

S.

Proof.

If

x

atoms

F

(

A

)

then by theorem

635

l

A ×

FCD

B

(

A

;

B

)

S

x

=

l

A ×

FCD

B

x

(

A

;

B

)

S

)

.

If

x

6

d

dom

S

then

(

A

;

B

)

S

: (

x

u A 6

=

F

(

A

)

A ×

FCD

B

x

=

B

);

A ×

FCD

B

x

(

A

;

B

)

S

)

= im

S

;

if

x

d

dom

S

then

(

A

;

B

)

S

: (

x

u A

=

F

(

A

)

A ×

FCD

B

x

=

F

(

B

)

);

A ×

FCD

B

x

(

A

;

B

)

S

)

3 ⊥

F

(

B

)

.

So

l

A ×

FCD

B

(

A

;

B

)

S

x

=

(

d

im

S

if

x

6

d

dom

S

F

(

B

)

if

x

d

dom

S.

From this the statement of the theorem follows.

Corollary

647

.

For every

A

0

,

A

1

F

(

A

),

B

0

,

B

1

F

(

B

) (for every sets

A

,

B

)

(

A

0

×

FCD

B

0

)

u

(

A

1

×

FCD

B

1

) = (

A

0

u A

1

)

×

FCD

(

B

0

u B

1

)

.

Proof.

(

A

0

×

FCD

B

0

)

u

(

A

1

×

FCD

B

1

) =

d

{

(

A ×

FCD

B

0

,

A

1

×

FCD

B

1

}

what is

by the last theorem equal to (

A

0

u A

1

)

×

FCD

(

B

0

u B

1

).

Theorem

648

.

If

A

,

B

are sets and

A ∈

F

(

A

) then

FCD

is a complete

homomorphism from the lattice

F

(

B

) to the lattice

FCD

(

A

;

B

), if also

A 6

=

F

(

A

)

then it is an order embedding.

Proof.

Let

S

P

F

(

B

),

X

P

A

,

x

atoms

F

(

A

)

.

DG

FCD

S

E

X

=

G

A ×

FCD

B

X

B ∈

S

)

=

(

F

S

if

X

A

F

(

B

)

if

X /

A

=

D

A ×

FCD

G

S

E

X

;

D

l

FCD

S

E

x

=

l

A ×

FCD

B

x

B ∈

S

)

=

(

d

S

if

x

6 A

F

(

B

)

if

x

 A

.