background image

1.9. UNUSUAL NOTATION

11

Note that below defined domain and image of a funcoid are not the same as it source

and destination.

I will denote GR(

A

;

B

;

f

) =

f

for any morphism (

A

;

B

;

f

) of either

Set

or

Rel

.

(See definitions of

Set

and

Rel

below.)

I will denote

h

f

i

=

h

GR

f

i

and [

f

]

=[GR

f

]

for any morphism

f

of either

Set

or

Rel

.

1.9. Unusual notation

In the chapter

Common knowledge, part 1

(which you may skip reading if you

are already knowledgeable) some non-standard notation is defined. I summarize

here this notation for the case if you choose to skip reading that chapter:

Partial order is denoted as

v

.

Meets and joins are denoted as

u

,

t

,

d

,

F

.

I call element b

substractive

from an elements

a

(of a distributive lattice

A

)

when the difference

a

\

b

exists. I call

b

complementive

to

a

when there exists

c

A

such that

b

u

c

=

and

b

t

c

=

a

. We will prove that

b

is complementive to

a

iff

b

is substractive from

a

and

b

v

a

.

Definition

2

.

Call

a

and

b

of a poset

A

intersecting

, denoted

a

6

b

, when

there exists a non-least element

c

such that

c

v

a

c

v

b

.

Definition

3

.

a

b

def

=

¬

(

a

6

b

).

Definition

4

.

I call elements

a

and

b

of a poset

A

joining

and denote

a

b

when there are no non-greatest element

c

such that

c

w

a

c

w

b

.

Definition

5

.

a

6≡

b

def

=

¬

(

a

b

).

Obvious

6

.

a

6

b

iff

a

u

b

is non-least, for every elements

a

,

b

of a meet-

semilattice.

Obvious

7

.

a

b

iff

a

t

b

is the greatest element, for every elements a, b of a

join-semilattice.

I extend the definitions of pseudocomplement and dual pseudocomplement to

arbitrary posets (not just lattices as it is customary):

Definition

8

.

Let

A

be a poset.

Pseudocomplement

of

a

is

max

c

A

c

a

.

If

z

is the pseudocomplement of

a

we will denote

z

=

a

.

Definition

9

.

Let

A

be a poset.

Dual pseudocomplement

of

a

is

min

c

A

c

a

.

If

z

is the dual pseudocomplement of

a

we will denote

z

=

a

+

.