6.4. LATTICES OF FUNCOIDS

105

Proof.

l

h

F

iX

F

up

f

=

l

h

F

i

X

F

up

f

)

=

l

d

n

h

F

i

X

X

∈X

o

F

up

f

=

l

d

n

h

F

i

X

F

up

f

o

X

∈ X

=

l

h

f

i

X

X

∈ X

=

h

f

iX

(the lemma used).

Conjecture

603

.

Every filtrator of funcoids is:

FiXme

: Solved. See rewrite-

plan.pdf

1

. with separable core;

2

. with co-separable core.

Below it is shown that

FCD

(

A

;

B

) are complete lattices for every sets

A

and

B

.

We will apply lattice operations to subsets of such sets without explicitly mentioning

FCD

(

A

;

B

).

Theorem

604

.

FCD

(

A

;

B

) is a complete lattice (for every sets

A

and

B

). For

every

R

P

FCD

(

A

;

B

) and

X

P

A

,

Y

P

B

1

.

X

[

F

R

]

Y

⇔ ∃

f

R

:

X

[

f

]

Y

;

2

.

h

F

R

i

X

=

F

n

h

f

i

X

f

R

o

.

Proof.

Accordingly [

26

to prove that it is a complete lattice it’s enough to

prove existence of all joins.

2

.

αX

def

=

F

n

h

f

i

X

f

R

o

. We have

α

=

F

(Dst

f

)

;

α

(

I

J

) =

G

h

f

i

(

I

J

)

f

R

=

G

h

f

i

I

t h

f

i

J

f

R

=

G

h

f

i

I

f

R

t

G

h

f

i

J

f

R

=

αI

t

αJ.

So

h

h

i

=

α

for some funcoid

h

. Obviously

f

R

:

h

w

f.

(7)

And

h

is the least funcoid for which holds the condition (

7

). So

h

=

F

R

.