background image

6.4. LATTICES OF FUNCOIDS

104

Proof.

h

f

i

d

S

v h

f

i

X

for every

X

S

and thus

h

f

i

d

S

v

d

hh

f

ii

S

.

By properties of generalized filter bases:

h

f

i

l

S

=

l

h

f

i

l

S

=

l

h

f

i

X

∃P ∈

S

:

X

∈ P

=

l

h

f

i

X

∃P ∈

S

:

X

∈ P

w

l

h

f

iP

P ∈

S

=

l

hh

f

ii

S.

6.4. Lattices of funcoids

Definition

600

.

f

v

g

def

= [

f

]

[

g

] for

f, g

FCD

(

A

;

B

) for every sets

A

,

B

.

Thus every

FCD

(

A

;

B

) is a poset. (It’s taken into account that [

f

]

6

=[

g

] when

f

6

=

g

.)

We will consider filtrators (

filtrators of funcoids

) whose base is

FCD

(

A

;

B

) and

whose core are principal funcoids from

A

to

B

.

Lemma

601

.

h

f

i

X

=

d

n

h

F

i

X

F

up

f

o

for every funcoid

f

and set

X

P

(Src

f

).

Proof.

Obviously

h

f

i

X

v

d

n

h

F

i

X

F

up

f

o

.

Let

B

∈ h

f

i

X

. Let

F

B

=

X

×

B

t

((Src

f

)

\

X

)

×

Dst

f

.

h

F

B

i

X

=

B

.

Let

P

P

(Src

f

). We have

∅ 6

=

P

X

⇒↑

Dst

f

h

F

B

i

P

=

Dst

f

B

w h

f

i

P

and

∅ 6

=

P

*

X

⇒↑

Dst

f

h

F

B

i

=

Dst

f

Dst

f

w h

f

i

P.

Thus

Dst

f

h

F

B

i

P

w h

f

i

P

for every

P

and so

FCD

(Src

f

;Dst

f

)

F

B

w

f

that is

F

B

up

f

.

Thus

B

∈ h

f

i

X

:

B

d

n

h

F

i

X

F

up

f

o

because

B

FCD

(Src

f

;Dst

f

)

F

B

X

.

So

d

n

h

F

i

X

F

up

f

o

v h

f

i

X

.

Theorem

602

.

h

f

iX

=

d

n

h

F

iX

F

up

f

o

for every funcoid

f

and

X ∈

F

(Src

f

).