background image

1.8. BASIC NOTATION

10

Despite of the name “Common knowledge” this second common knowledge chapter

is recommended to be read completely even if you know topology well, because it

contains some rare theorems not known to most mathematicians and hard to find in

literature.

FiXme

: Specify the list of sections to read for an expert mathematician.

Then the most interesting thing in this book, the theory of funcoids, starts.

Afterwards there is the theory of reloids.

Then I show relationships between funcoids and reloids.

The last I research generalizations of funcoids,

pointfree funcoids

,

staroids

, and

multifuncoids

and some different kinds of products of morphisms.

1.8. Basic notation

I will denote a set definition like

n

x

A

P

(

x

)

o

instead of customary

{

x

A

|

P

(

x

)

}

.

I do this because otherwise formulas don’t fit horizontally in the available space.

1.8.1. Grothendieck universes.

We will work in ZFC with an infinite and

uncountable Grothendieck universe.

A Grothendieck universe is just a set big enough to make all usual set theory

inside it. For example if

f

is a Grothendieck universe, and sets

X, Y

f

, then also

X

Y

f

,

X

Y

f

,

X

×

Y

f

, etc.

A set which is a member of a Grothendieck universe is called a

small set

(re-

garding this Grothendieck universe). We can restrict our consideration to small

sets in order to get rid troubles with proper classes.

Definition

1

.

Grothendieck universe is a set

f

such that:

1

. If

x

f

and

y

x

then

y

f

.

2

. If

x, y

f

then

{

x, y

} ∈

f

.

3

. If

x

f

then

P

x

f

.

4

. If

x

i

i

I

f

 

is a family of elements of

f

, then

S

i

I

x

i

f

.

One can deduce from this also:

1

. If

x

f

, then

{

x

} ∈

f

.

2

. If

x

is a subset of

y

f

, then

x

f

.

3

. If

x, y

f

then the ordered pair (

x

;

y

) =

{{

x, y

}

, x

} ∈

f

.

4

. If

x, y

f

then

x

y

and

x

×

y

are in

f

.

5

. If

x

i

i

I

f

 

is a family of elements of

f

, then the product

Q

i

I

x

i

f

.

6

. If

x

f

, then the cardinality of

x

is strictly less than the cardinality of

f

.

1.8.2. Misc.

In this book quantifiers bind tightly. That is

x

A

:

P

(

x

)

Q

and

x

A

:

P

(

x

)

Q

should be read (

x

A

:

P

(

x

))

Q

and (

x

A

:

P

(

x

))

Q

not

x

A

: (

P

(

x

)

Q

) and

x

A

: (

P

(

x

)

Q

).

The set of functions from a set

A

to a set

B

is denoted as

B

A

.

I will often skip parentheses and write

f x

instead of

f

(

x

) to denote the result

of a function

f

acting on the argument

x

.

I will denote

h

f

i

X

=

n

f α

α

X

o

and

X

[

f

]

Y

⇔ ∃

x

X, y

Y

:

x f y

for sets

X

,

Y

and a binary relation

f

. (Note that functions are a special case of binary

relations.)

By just

h

f

i

and [

f

]

I will denote the corresponding function and relation on

small sets.

λx

D

:

f

(

x

) =

n

(

x

;

f

(

x

))

x

D

o

for a set

D

and and a form

f

depending on the

variable

x

.

I will denote source and destination of a morphism

f

of any category (See

chapter

2

chapter for a definition of a category.) as Src

f

and Dst

f

correspondingly.