background image

2.

{

Y

B

|

X f Y

}

is a free star for every

X

A

;

what is equal to the following:

1. (

I

J

)

f Y

I f Y

J f Y

and not 0

f Y

for every

Y

B

,

I, J

A

;

2.

X f

(

I

J

)

X f I

X f J

and not

X f

0 for every

X

A

,

I, J

B

.

By the way, it implies that

f

7→

[

f

]

is a bijection from the set of funcoids from

0

to

1

into the set of multifuncoids of the form

P

0

×

P

1

, for every sets

0

and

1

.

Now suppose

f

is a multifuncoid of the form

P

2

. Then:

1. (

I

J

)

f Y

I f Y

J f Y

and not 0

f Y

for every

Y, I, J

P

;

2.

X f

(

I

J

)

X f I

X f J

and not

X f

0. for every

X, I, J

P

.

Thus multifuncoids of the form

P

2

are essentially equivalent to funcoids from

P

to

P

([1]), formally: there exist a funcoid

f

such that [

f

]

=

f

.

E

f

=

L

F

2

|

up

L

f

 

=

{

(

L

0

;

L

1

)

|

L

0

, L

1

F

,

g

0

up

L

0

, g

1

up

L

1

: (

g

0

;

g

1

)

f

}

=

(

L

0

;

L

1

)

|

L

0

, L

1

F

,

g

0

up

L

0

, g

1

up

L

1

:

g

0

[

f

]

g

1

 

=

{

(

L

0

;

L

1

)

|

L

0

, L

1

F

, L

0

[

f

]

L

1

}

=

[

f

].

Thus:

1. (

I

J

) (

E

f

)

Y

I

(

E

f

)

Y

J

(

E

f

)

Y

and not 0 (

E

f

)

Y

for every

Y, I, J

F

;

2.

X

(

E

f

) (

I

J

)

X

(

E

f

)

I

X

(

E

f

)

J

and not

X

(

E

f

) 0 for every

X, I, J

F

.

that is

E

f

is a multifuncoid of the form

F

2

.

References

[1] Victor

Porton.

Funcoids

and

reloids.

At

http://www.mathematics21.org/binaries/funcoids-reloids.pdf

.

[2] Victor Porton. Filters on posets and generalizations.

International Journal

of Pure and Applied Mathematics

, 74(1):55–119, 2012.

6