background image

2

Open problems

Conjecture 1

Let

be a set,

F

be the set of filters on

ordered reverse to

set-theoretic inclusion,

P

be the set of principal filters on

, let

n

be an index

set. Consider the filtrator

(

F

n

;

P

n

)

. If

f

is a multifuncoid of the form

P

n

, then

E

f

is a multifuncoid of the form

F

n

.

A similar conjecture about completary multifuncoids:

Conjecture 2

Let

be a set,

F

be the set of filters on

ordered reverse to

set-theoretic inclusion,

P

be the set of principal filters on

, let

n

be an index

set. Consider the filtrator

(

F

n

;

P

n

)

. If

f

is a completary multifuncoid of the

form

P

n

, then

E

f

is a completary multifuncoid of the form

F

n

.

A weaker conjecture:

Conjecture 3

Let

be a set,

F

be the set of filters on

ordered reverse to

set-theoretic inclusion,

P

be the set of principal filters on

, let

n

be an index

set. Consider the filtrator

(

F

n

;

P

n

)

. If

f

is a completary multifuncoid of the

form

P

n

, then

E

f

is a multifuncoid of the form

F

n

.

For finite

n

all three conjectures are equivalent.

For

n

= 0 the conjecture is trivial. For

n

= 1 it can be proved using the

theory of filters [2]. For

n

= 2 we can prove it using the theory of funcoids [1].

For card

n

>

3 (finite and infinite) the problem is open.

The full proofs for card

n

6

2 are presented below.

If a conjecture will be proved true, we may generalize it for a wider set of

filtrators.

3

Preliminary Results

3.1

Isomorphic filtrators

We will use the concept of isomorphic filtrators in the below proofs.

An

isomorphism

from a filtrator (

A

0

;

Z

0

) to a filtrator (

A

1

;

Z

1

) is an order

embedding

ϕ

from

A

0

to

A

1

such that the image of

Z

0

under

ϕ

is exactly

Z

1

.

Two filtrators are isomorphic when there exist an isomorphism from one to

the other.

It is trivial that neither the property of being a multifuncoid, nor the result

of upgrading does change under an isomorphism.

3.2

The proof of the conjecture for

card

n

6

2

The below constitutes a proof of my conjecture for

n

∈ {

0

,

1

,

2

}

as well as

n

being any set of cardinality card

n

6

2, because a particular index set does not

matter, just it’s cardinality.

Let

Z

=

P

n

and

A

=

F

n

.

4