background image

Definition 8

Infinitary pre-multifuncoid

is such an

n

-ary multifuncoid that

n

is infinite;

finitary pre-multifuncoid

is such an

n

-ary multifuncoid that

n

is finite.

Definition 9

Let

A

is a family of join-semilattices. A

completary multifun-

coid

of the form

A

is an

f

P

Q

i

dom

A

A

i

such that

1.

L

0

L

1

f

⇔ ∃

c

∈ {

0

,

1

}

n

:

λi

n

:

L

c

(

i

)

i

f

for every

L

0

, L

1

Q

A

.

2. If

L

Q

A

and

L

i

= 0

A

i

for some

i

then

¬

f L

.

Proposition 3

A completary multifuncoid is a multifuncoid.

Proof

Let

f

is a completary multifuncoid.

Let

K

Q

i

(dom

A

)

\{

i

}

A

i

. Let

L

0

=

K

∪ {

(

i

;

X

0

)

}

,

L

1

=

K

∪ {

(

i

;

X

1

)

}

for some

X

0

, X

1

A

i

. Then

X

0

X

1

(val

f

)

i

K

L

0

L

1

f

⇔ ∃

k

{

0

,

1

}

:

K

∪ {

(

i

;

X

k

)

} ∈

f

K

∪ {

(

i

;

X

0

)

} ∈

f

K

∪ {

(

i

;

X

1

)

} ∈

f

X

0

(val

f

)

i

K

X

1

(val

f

)

i

K

.

So (val

f

)

i

K

is a free star (taken in account that

K

i

= 0

A

i

f

6∈

K

).

It remained to prove that

f

is an upper set. Let

L

0

L

1

for some

L

0

, L

1

Q

A

and

L

0

f

. Then taking

c

=

n

× {

0

}

we get

λi

n

:

L

c

(

i

)

i

=

λi

n

:

L

0

i

=

L

0

f

and thus

L

1

=

L

0

L

1

f

.

Proposition 4

Every finitary pre-multifuncoid is completary.

Proof

c

∈ {

0

,

1

}

n

: (

λi

n

:

L

c

(

i

)

i

)

f

c

∈ {

0

,

1

}

n

1

: (

{

(

n

1;

L

0

(

n

1))

} ∪ {

(

i

;

L

c

(

i

)

i

)

|

i

n

1

} ∈

f

{

(

n

1;

L

1

(

n

1))

} ∪ {

(

i

;

L

c

(

i

)

i

)

|

i

n

1

} ∈

f

)

⇔ ∃

c

∈ {

0

,

1

}

n

1

:

{

(

n

1;

L

0

(

n

1)

L

1

(

n

1))

} ∪ {

(

i

;

L

c

(

i

)

i

)

|

i

n

1

} ∈

f

. . .

{

(

i

;

L

0

i

L

1

i

)

|

i

n

} ∈

f

.

Theorem 1

For finite

n

the following are the same:

1. pre-multifuncoids;

2. multifuncoids;

3. completary multifuncoids.

Proof

f

is a finitary pre-multifuncoid

f

is a finitary completary multifun-

coid.

f

is a finitary completary multifuncoid

f

is a finitary multifuncoid.

f

is a finitary multifuncoid

f

is a finitary pre-multifuncoid.

As it will be clear from below, (finitary) multifuncoids are a generalization

of funcoids [1].

I will denote

A

FCD

the set of multifuncoids for a finite family

A

of join-

semilattices.

3