background image

1.2

Filtrators and upgrading

Definition 1

A

filtrator

is a pair

(

A

;

Z

)

of a poset

A

and its subset

Z

.

See [2] for a detailed study of filtrators.
Having fixed a filtrator, we define:

Definition 2

up

x

=

{

Y

Z

|

Y

>

x

}

for every

X

A

.

Definition 3

E

K

=

{

L

A

|

up

L

K

}

(

upgrading

the set

K

) for every

K

P

Z

.

1.3

Multifuncoids

Definition 4

A

free star

on a join-semilattice

A

with least element

0

is a set

S

such that

0

6∈

S

and

A, B

A

: (

A

B

S

A

S

B

S

)

.

I will denote the set of free stars on

A

as

A

Star.

Let

n

be a set. As an example,

n

may be an ordinal,

n

may be a natural

number, considered as a set by the formula

n

=

{

0

, . . . , n

1

}

. Let

A

=

A

i

n

is a family of posets indexed by the set

n

.

Definition 5

Let

f

P

Q

A

,

i

dom

A

,

L

Q

A

|

(dom

A

)

\{

i

}

.

(val

f

)

i

L

=

{

X

A

i

|

L

∪ {

(

i

;

X

)

} ∈

f

}

.

(“

val

” is an abbreviation of the word “value”.)

Proposition 1

f

can be restored knowing

(val

f

)

i

for some

i

n

.

Proof

f

=

{

K

Q

A

|

K

f

}

=

L

∪ {

(

i

;

X

)

}

|

L

Q

A

|

(dom

A

)

\{

i

}

, X

A

i

, L

∪ {

(

i

;

X

)

} ∈

f

 

=

L

∪ {

(

i

;

X

)

}

|

L

Q

A

|

(dom

A

)

\{

i

}

, X

(val

f

)

i

L

 

.

Definition 6

Let

A

is a family of join-semilattices. A

pre-multidimensional

funcoid

(or

pre-multifuncoid

for short) of the form

A

is an

f

P

Q

A

such that we have that:

(val

f

)

i

L

is a free star for every

i

dom

A

,

L

Q

A

|

(dom

A

)

\{

i

}

.

Definition 7

A

multidimensional funcoid

(or

multifuncoid

for short) is

a pre-multifuncoid which is an upper set.

Proposition 2

If

L

Q

A

and

L

i

= 0

A

i

for some

i

then

L

6∈

f

if

f

is a

pre-multifuncoid.

Proof

Let

K

=

L

|

dom

A

\{

i

}

. We have 0

6∈

(val

f

)

i

K

;

K

∪ {

(

i

; 0)

} 6∈

f

;

L

6∈

f

.

2