background image

Proof.

See [1].

See [1] for definition and properties of full stars and core stars. There it is also described a

bijection between free stars on a boolean lattice and filters on that lattice (theorems 43, 44, and
45 in [1]).

3 Order of free stars

The set of free stars is ordered by the partial order defined by the formula

S

T

S

T

.

Obvious 5.

The minimal free star is

.

Proposition 6.

The maximal free star is

A

\ {

0

}

(or

A

if

0

doesn’t exist).

Proof.

Let’s denote our star

S

(that is

S

=

A

\ {

0

}

or

S

=

A

dependently on existence of

0

).

It is enough to prove that

S

is a free star.

That the least element is not in

S

is obvious. That

S

is an upper set is obvious.

The only thing remained to prove is

Z

A

: (

Z

X

Z

Y

Z

S

)

X

S

Y

S.

If

X

or

Y

are non-least, it is obvious. Then only case remained to consider is

X

=

Y

= 0

. In this

case our formula takes the form:

Z

A

:

Z

S

X

S

Y

S

what is true because

Z

A

:

Z

S

is false (

0

Z

).

Proposition 7.

If

S

is a set of free stars on a join-semilattice, then

S

S

is a free star.

Proof.

Let

S

is a set of free stars on a join-semilattice.

Obviously

S

S

does not contain the least element (if it exists) and

S

S

is an upper set.

It is remained to prove that

X

Y

S

S

X

S

S

Y

S

S

.

Let

X

Y

S

S

. Then there exists

T

S

such that

X

Y

T

. Hence

X

T

Y

T

and thus

X

S

S

Y

S

S

.

Conjecture 8.

This proposition cannot be strengthened for arbitrary posets instead of join-

semilattices.

Next two corollaries from the above proposition:

Corollary 9.

F

S

=

S

S

if

S

is a set of free stars on a join-semilattice.

Corollary 10.

The set of free stars on a join-semilattice is a complete lattice.

4 Informal open problems

For which kinds of posets the corresponding poset of free stars is:

1. a distributive lattice?

2. a co-brouwerian lattice?

3. an atomic poset?

4. an atomistic poset?

5. a separable poset? (see [1] for a definition)

6. an atomically separable poset? (see [1] for a definition)

Answers to these questions for the poset of all subsets of a fixed set are obviously all true, due the
mentioned above bijective correspondence with the set of filters on that poset and results in [1].

Can these results be significantly strengthened?

Bibliography

[1]

Victor Porton. Filters on posets and generalizations.

International Journal of Pure and Applied Mathe-

matics

, 74(1):55–119, 2012.

2

Section