background image

Free stars

by Victor Porton

Shay Agnon 32-29

Email:

porton@narod.ru

Web:

http://www.mathematics21.org

August 26, 2012

Abstract

Free stars are certain subsets of a poset, first defined by me in [1]. Free stars are closely
related with filters, namely free stars on a boolean lattice bijectively correspond to filters on
this lattice. This article introduces consideration of free stars. Some questions are raised.
Free stars are useful in my further (yet unpublished) research (in general topology).

Keywords:

filters, filtrators, posets, lattices

A.M.S. subject classification:

06A0606B99

1 Notation

Partial order is denoted as

.

Meets and joins are denoted as

,

,

d

,

F

.

I don’t use in this article the concept of filter objects [1], but instead just define the order on

a lattice of filters reverse to set-theoretic inclusion:

A ⊑ B ⇔ A ⊇ B

.

2 Definition

I recall the definition from [1]:

Definition 1.

Let

A

be a poset.

Free stars

on

A

are such

S

P

A

that the least element (if it

exists) is not in

S

and for every

X , Y

A

Z

A

: (

Z

X

Z

Y

Z

S

)

X

S

Y

S.

Proposition 2.

S

P

A

where

A

is a poset is a free star iff all of the following:

1. The least element (if it exists) is not in

S

.

2.

Z

A

: (

Z

X

Z

Y

Z

S

)

X

S

Y

S

for every

X , Y

A

.

3.

S

is an upper set.

Proof.

See [1].

Proposition 3.

Let

A

be a join-semilattice.

S

P

A

is a free star iff all of the following:

1. The least element (if it exists) is not in

S

.

2.

X

Y

S

X

S

Y

S

for every

X , Y

A

.

3.

S

is an upper set.

Proof.

See [1].

Proposition 4.

Let

A

be a join-semilattice.

S

P

A

is a free star iff the least element (if it exists)

is not in

S

and for every

X , Y

A

X

Y

S

X

S

Y

S.

1