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Proposition 51.

Y

GR id

A

[

n

]

Strd

⇔ ∀

A

∈ A

:

Y

GR

Strd

id

A

[

n

]

for every filter

A

on a powerset and

Y

P

n

.

Proof.

Take

Y

=

Z

n

X

.

A

∈ A

:

Y

GR

Strd

id

A

[

n

]

⇔ ∀

A

∈ A

:

Z

n

X

GR

Strd

id

A

[

n

]

⇔ ∀

A

∈ A

:

Q

X

id

A

[

n

]

Z

n

X

GR id

A

[

n

]

Strd

Y

GR id

A

[

n

]

Strd

.

Proposition 52.

Z

n

X

GR id

a

[

n

]

Strd

⇔ ∀

A

a

t

A

i

n

:

t

X

i

.

Proof.

Z

n

X

GR id

a

[

n

]

Strd

⇔ ∃

A

a

t

A

:

n

× {

t

} ∈

Q

X

⇔ ∀

A

a

t

A

i

n

:

t

X

i

.

6.5 Relationships between big and small identity staroids

Definition 53.

a

Strd

n

=

Q

i

n

Strd

a

for every element

a

of a poset and an index set

n

.

Proposition 54.

id

a

[

n

]

Strd

ID

a

[

n

]

Strd

a

Strd

n

for every filter

a

(on any distributive lattice) and an index

set

n

.

Proof.

GR

id

a

[

n

]

Strd

GR ID

a

[

n

]

Strd

.

L ∈

GR

id

a

[

n

]

Strd

up

L ⊆

GR id

a

[

n

]

Strd

⇔ ∀

L

up

L

:

L

GR id

a

[

n

]

Strd

(proposition 4.112??)

⇔∀

L

up

L ∀

A

up

a

:

d

i

n

Z

L

i

A

⇔ ∀

L

up

L ∀

A

up

a

:

d

i

n

Z

L

i

A

0

S

i

n

L

i

a

has finite intersection property

⇔L ∈

GR ID

a

[

n

]

Strd

.

GR ID

a

[

n

]

Strd

GR

a

Strd

n

.

L ∈

GR ID

a

[

n

]

Strd

MEET

(

{L

i

|

i

n

} ∪ {

a

}

)

⇒ ∀

i

a

:

L

i

a

L ∈

GR

a

Strd

a

.

Proposition 55.

id

a

[

a

]

Strd

ID

a

[

a

]

Strd

=

a

Strd

a

for every nontrivial ultrafilter

a

on a set.

Proof.

GR

id

a

[

a

]

Strd

GR ID

a

[

a

]

Strd

.

Let

L

i

=

Base

(

a

)

i

. Then trivially

L ∈

GR ID

a

[

a

]

Strd

. But to disprove

L ∈

GR

id

a

[

a

]

Strd

it’s enough to show

L

GR id

a

[

a

]

Strd

for some

L

up

L

. Really, take

L

i

=

L

i

=

Base

(

a

)

i

. Then

L

GR id

a

[

a

]

Strd

⇔ ∀

A

a

t

A

i

a

:

t

i

what is clearly false (we

can always take

i

a

such that

t

i

for any point

t

).

GR ID

a

[

a

]

Strd

=

GR

a

Strd

a

.

L ∈

GR ID

a

[

a

]

Strd

⇔ ∀

i

n

:

L

i

a

⇔ ∀

i

a

:

L

i

a

⇔ L ∈

GR

a

Strd

a

.

Corollary 56.

a

Strd

a

isn’t an atom when

a

is a nontrivial ultrafilter.

Corollary 57.

Staroidal product of an infinite indexed family of ultrafilters may be non-atomic.

Proposition 58.

id

a

[

n

]

Strd

is determined by the value of

id

a

[

n

]

Strd

. Moreover id

a

[

n

]

Strd

=

id

a

[

n

]

Strd

.

Proof.

Use general properties of upgrading and downgrading (proposition 17.63??).

Lemma 59.

L ∈

GR ID

a

[

n

]

Strd

iff

S

i

n

L

i

a

has finite intersection property (for primary filtrators).

Proof.

L ∈

GR ID

a

[

n

]

Strd

d

i

n

L ⊓

a

0

F

⇔ ∀

X

d

i

n

L ⊓

a

:

X

what is equivalent of

S

i

n

L

i

a

having finite intersection property.

Proposition 60.

ID

a

[

n

]

Strd

is determined by the value of

ID

a

[

n

]

Strd

, moreover ID

a

[

n

]

Strd

=

ID

a

[

n

]

Strd

(for

primary filtrators).

Proof.

L ∈

⇈ 

ID

a

[

n

]

Strd

up

L ⊆

ID

a

[

n

]

Strd

up

L ⊆

ID

a

[

n

]

Strd

⇔ ∀

L

up

L

:

L

ID

a

[

n

]

Strd

⇔ ∀

L

up

L

:

d

i

n

L

i

a

0

F

S

i

n

L

i

a

has finite intersection property

(lemma)

⇔L ∈

GR ID

a

[

n

]

Strd

.

8

Section 6