background image

Proof.

That

L

GR ID

A

[

n

]

Strd

if

L

k

= 0

for some

k

n

is obvious. It remains to prove

L

∪ {

(

k

;

X

Y

)

} ∈

GR ID

A

[

n

]

Strd

L

∪ {

(

k

;

X

)

} ∈

GR ID

A

[

n

]

Strd

L

∪ {

(

k

;

Y

)

} ∈

GR ID

A

[

n

]

Strd

.

It is equivalent to

l

i

n

\{

k

}

L

i

(

X

Y

)

A ⇔

l

i

n

\{

k

}

L

i

X

A ∨

l

i

n

\{

k

}

L

i

Y

A

.

Really,

d

i

n

\{

k

}

L

i

(

X

Y

)

A ⇔

d

i

n

\{

k

}

L

i

X

d

i

n

\{

k

}

L

i

Y

A ⇔

d

i

n

\{

k

}

L

i

X

A ∨

d

i

n

\{

k

}

L

i

Y

A

.

Proposition 44.

Let

(

A

;

Z

)

be a starrish filtrator over a complete meet infinite distributive lattice

and

A ∈

A

. Then id

A

[

n

]

Strd

is a staroid.

Proof.

That

L

GR id

A

[

n

]

Strd

if

L

k

= 0

for some

k

n

is obvious. It remains to prove

L

∪ {

(

k

;

X

Y

)

} ∈

GR id

A

[

n

]

Strd

L

∪ {

(

k

;

X

)

} ∈

GR id

A

[

n

]

Strd

L

∪ {

(

k

;

Y

)

} ∈

GR id

A

[

n

]

Strd

.

It is equivalent to

l

i

n

\{

k

}

Z

L

i

(

X

Y

)

A ⇔

l

i

n

\{

k

}

Z

L

i

X

A ∨

l

i

n

\{

k

}

Z

L

i

Y

A

.

Really,

d

i

n

\{

k

}

Z

L

i

(

X

Y

)

A ⇔

d

i

n

\{

k

}

Z

L

i

X

d

i

n

\{

k

}

Z

L

i

Y

A ⇔

d

i

n

\{

k

}

Z

L

i

X

A ∨

d

i

n

\{

k

}

Z

L

i

Y

A

.

Proposition 45.

Let

(

A

;

Z

)

be a distributive lattice filtrator with least element and finitely join-

closed core which is a join semilattice. ID

A

[

n

]

Strd

is a completary staroid for every

A ∈

A

.

Proof.

A

is a free star by theorem ??4.47.

L

0

L

i

GR ID

A

[

n

]

Strd

⇔ ∀

i

n

: (

L

0

L

i

)

i

A ⇔ ∀

i

n

:

L

0

i

L

1

i

A ⇔ ∀

i

n

:

(

L

0

i

A ∨

L

1

i

A

)

⇔ ∃

c

∈ {

0

,

1

}

n

i

n

:

L

c

(

i

)

i

A⇔ ∃

c

∈ {

0

,

1

}

n

: (

λi

n

:

L

c

(

i

)

i

)

GR ID

A

[

n

]

Strd

.

Lemma 46.

X

GR id

A

[

n

]

Strd

Cor

d

i

n

A

X

i

A

for a join-closed filtrator

(

A

;

Z

)

such that both

A

and

Z

are complete lattices, provided that

A ∈

A

.

Proof.

X

GR id

A

[

n

]

Strd

d

i

n

Z

X

i

A ⇔

Cor

d

i

n

A

X

i

A

.

Conjecture 47.

id

A

[

n

]

Strd

is a completary staroid for every set-theoretic filter

A

.

Proposition 48.

Let each

(

A

i

;

Z

i

)

for

i

n

(where

n

is an index set) is a finitely join-closed filtrator,

such that each

A

i

and each

Z

i

are join-semilattices. If

f

is a completary staroid of the form

A

then

f

is a completary staroid of the form

Z

.

[TODO: Move this proposition (and note its corollary).]

Proof.

L

0

Z

L

1

GR

f

L

0

Z

L

1

GR

f

L

0

A

L

1

GR

f

⇔ ∃

c

∈ {

0

,

1

}

n

:

(

λi

n

:

L

c

(

i

)

i

)

GR

f

⇔ ∃

c

∈ {

0

,

1

}

n

: (

λi

n

:

L

c

(

i

)

i

)

GR

f

for every

L

0

, L

1

Q

Z

.

Conjecture 49.

id

A

[

n

]

Strd

is a completary staroid if

A

is a filter on a set and

n

is an index set.

6.4 Special case of sets and filters

Proposition 50.

Z

n

X

GR id

a

[

n

]

Strd

⇔ ∀

A

a

:

Q

X

id

A

[

n

]

for every filter

a

on a powerset and

index set

n

.

Proof.

A

a

:

Q

X

id

A

[

n

]

⇔ ∀

A

a

:

T

i

n

X

i

A

∅ ⇔ ∀

A

a

:

d

i

n

P

Z

X

i

A

d

i

n

P

(

Z

n

X

i

)

a

d

i

n

P

(

Z

n

X

)

i

a

⇔ ↑

Z

n

X

GR id

a

[

n

]

.

Identity staroids and multifuncoids

7