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It is equivalent (proposition 22 and the fact that

[

f

]

is an upper set) to

h

f

i

k

(

L

∪ {

(

l

;

Y

)

}

)

being a principal filter and thus

(

val

[

f

])

l

L

being a complete free star.

(1)

(3).

Y

h

f

i

l

(

L

∪ {

(

k

;

F

X

)

}

)

F

X

h

f

i

k

(

L

∪ {

(

l

;

Y

)

}

)

⇔ ∃

x

X

:

x

h

f

i

k

(

L

∪ {

(

l

;

Y

)

}

)

⇔ ∃

x

X

:

Y

h

f

i

l

(

L

∪ {

(

k

;

x

)

}

)

Y

F

x

X

h

f

i

l

(

L

∪ {

(

k

;

x

)

}

)

for every principal

Y

.

6 Identity staroids and multifuncoids

6.1 Identity relations

Denote id

A

[

n

]

=

{

(

λi

n

:

x

)

|

x

A

}

=

{

n

× {

x

} |

x

A

}

the

n

-ary identity relation on a set

A

(for

each index set

n

).

Proposition 34.

Q

X

id

A

[

n

]

T

i

n

X

i

A

.

Proof.

Q

X

id

A

[

n

]

⇔ ∃

t

A

:

n

× {

t

} ∈

Q

X

⇔ ∃

t

A

i

n

:

t

X

i

T

i

n

X

i

A

.

6.2 Universal definitions of identity staroids

Consider a filtrator

(

A

;

Z

)

and

A ∈

A

.

I will define below

small identity staroids

id

A

[

n

]

Strd

and

big identity staroids

ID

A

[

n

]

Strd

. That they are

really staroids and even completary staroids (under certain conditions) is proved below.

Definition 35.

Consider a filtrator

(

A

;

Z

)

. Let

Z

be a complete lattice. Let

A ∈

A

, let

n

be an

index set.

form id

A

[

n

]

Strd

=

Z

n

;

L

GR id

A

[

n

]

Strd

d

i

n

Z

L

i

A

.

Obvious 36.

X

GR id

A

[

n

]

Strd

⇔ ∀

A

up

A

:

d

i

n

Z

X

i

A

0

if our filtrator is with separable core.

Definition 37.

The subset

X

of a poset

A

has a nontrivial lower bound

(I denote this predicate

as MEET

(

X

)

) iff there is nonleast

a

A

such that

x

X

:

a

x

.

Definition 38.

Staroid ID

A

[

n

]

Strd

(for any

A ∈

A

where

A

is a poset) is defined by the formulas:

form ID

A

[

n

]

Strd

=

A

n

;

L ∈

GR ID

A

[

n

]

Strd

MEET

(

{L

i

|

i

n

} ∪ {A}

)

.

Obvious 39.

If

A

is complete lattice, then

L ∈

GR ID

A

[

n

]

Strd

d

L

A

.

Obvious 40.

If

A

is complete lattice and

a

is an atom, then

L ∈

GR ID

a

[

n

]

Strd

d

L ⊒

a

.

Obvious 41.

If

A

is a complete lattice then there exists a multifuncoid

Λ

ID

A

[

n

]

Strd

such that

Λ

ID

A

[

n

]

Strd

k

L

=

d

i

n

L

i

⊓ A

for every

k

n

,

L

A

n

\{

k

}

.

Proposition 42.

If

(

A

;

Z

)

is a meet-closed filtrator and

Z

is a complete lattice and

A

is a meet-

semilattice. There exists a multifuncoid

Λ

id

A

[

n

]

Strd

such that

Λ

id

A

[

n

]

Strd

k

L

=

d

i

n

Z

L

i

A

A

for every

k

n

,

L

Z

n

\{

k

}

.

Proof.

We need to prove that

L

∪ {

(

k

;

X

)

} ∈

id

A

[

n

]

Strd

d

i

n

Z

L

i

A

A

A

X

. But

l

i

n

Z

L

i

A

A

A

X

l

i

n

Z

L

i

A

X

A

A ⇔

l

i

n

Z

(

L

∪ {

(

k

;

X

)

}

)

i

A

A ⇔

L

∪ {

(

k

;

X

)

} ∈

id

A

[

n

]

Strd

.

6.3 Identities are staroids

Proposition 43.

Let

A

be a complete distributive lattice and

A ∈

A

. Then ID

A

[

n

]

Strd

is a staroid.

6

Section 6