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Proof.

1.

F

Z

T

S

F

Z

T

S

F

A

T

S

T

S

∅ ⇔

T

S

for every

T

P

Z

;

0

S

is

obvious.

2. There exists a principal filter

F

such that

S

=

F

.

F

A

T

S

up

F

A

T

S

⇔ ∀

K

up

F

A

T

:

K

F ⇔ ∀

K

up

F

A

T

:

K

F ⇔

F

A

T

F ⇔

F

A

T

F ⇔ ∃K ∈

T

:

K ∈

F ⇔ ∃K ∈

T

:

K

F ⇔ ∃K ∈

T

K

up

K

:

K

F ⇔ ∃K ∈

T

K

up

K

:

K

F ⇔ ∃K ∈

T

:

up

K ⊆

S

⇔ ∃K ∈

T

:

K ∈

S

T

S

.

0

S

up

0

S

0

S

what is false.

Corollary 28.

If

S

is a complete free star on

F

then

S

is a complete free star on

P

, provided

that

Z

is a complete lattice.

5 Complete staroids and multifuncoids

Definition 29.

Consider an indexed family

(

A

i

;

Z

i

)

of filtrators. A pre-staroid

f

of the form

Q

Z

is

complete

in argument

k

arity

f

when

(

val

f

)

k

L

is a complete free star for every

L

Q

i

(

arity

f

)

\{

k

}

Z

i

.

Definition 30.

Consider an indexed family

(

A

i

;

Z

i

)

of filtrators and pre-multifuncoid

f

is of

the form

Q

A

. Then

f

is

complete

in argument

k

arity

f

iff

h

f

i

k

L

Z

k

for every family

L

Q

i

(

arity

f

)

\{

k

}

Z

i

.

Proposition 31.

Consider an indexed family

(

F

i

;

Z

i

)

of primary filtrators over boolean lattices.

Let

f

be a pre-multifuncoid of the form

A

and

k

arity

f

. The following are equivalent:

1. Pre-multifuncoid

f

is complete in argument

k

.

2. Pre-staroid

[

f

]

is complete in argument

k

.

Proof.

L

GR

[

f

]

L

i

h

f

i

i

L

|

(

dom

L

)

\{

i

}

;

(

val

[

f

])

k

L

=

h

f

i

k

L

by the theorem ??17.81.

So

(

val

[

f

])

k

L

is a complete free star iff

h

f

i

k

L

Z

k

(proposition 22) for every

L

Q

i

(

arity

f

)

\{

k

}

Z

i

.

Example 32.

Consider funcoid

f

=

id

FCD

(

U

)

. It is obviously complete in each its two arguments.

Then

[

f

]

is not complete in each of its two arguments because

(

X

;

Y

)

[

f

]

⇔X

Y

what does not

generate a complete free star if one of the arguments (say

X

) is a fixed nonprincipal filter.

Theorem 33.

Consider a semifiltered, star-separable, down-aligned filtrator

(

A

;

Z

)

with finitely

meet closed and separable core where

Z

is a complete boolean lattice and both

Z

and

A

are atomistic

lattices.

Let

f

be a multifuncoid of the aforementioned form. Let

k, l

arity

f

and

k

l

. The following

are equivalent:

1.

f

is complete in the argument

k

.

2.

h

f

i

l

(

L

∪ {

(

k

;

F

X

)

}

) =

F

x

X

h

f

i

l

(

L

∪ {

(

k

;

x

)

}

)

for every

X

P

Z

k

,

L

Q

i

(

arity

f

)

\{

k,l

}

Z

i

.

3.

h

f

i

l

(

L

∪ {

(

k

;

F

X

)

}

) =

F

x

X

h

f

i

l

(

L

∪ {

(

k

;

x

)

}

)

for every

X

P

A

k

,

L

Q

i

(

arity

f

)

\{

k,l

}

Z

i

.

Proof.

(3)

(2).

Obvious.

(2)

(1).

Let

Y

Z

.

F

X

h

f

i

k

(

L

∪ {

(

l

;

Y

)

}

)

Y

h

f

i

l

(

L

∪ {

(

k

;

F

X

)

}

)

Y

F

x

X

h

f

i

l

(

L

∪ {

(

k

;

x

)

}

)

(proposition 4.144??)

⇔∃

x

X

:

Y

h

f

i

l

(

L

∪ {

(

k

;

x

)

}

)

⇔ ∃

x

X

:

x

h

f

i

k

(

L

(

l

;

Y

))

.

Complete staroids and multifuncoids

5