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2.

F

is a complete free star on

Z

.

3.

F

is a complete free star on

F

.

Proof.

(1)

(2).

That

F

does not contain the least element is obvious. That

F

is an upper set is

obvious. So it remains to apply theorem 4.53??.

(2)

(3).

That

F

does not contain the least element is obvious. That

F

is an upper set is

obvious. So it remains to apply theorem 4.53??.

(3)

(1).

Apply theorem 4.53??.

Corollary 23.

For a filter

F ∈

F

on a complete atomic boolean lattice the following conditions

are equivalent:

1.

F ∈

P

.

2.

F

is a complete free star on

P

.

3.

F

is a complete free star on

F

.

Theorem 24.

Let

Z

be a boolean lattice. For any set

S

P

P

there exists a principal filter

A

such that

A

=

S

iff

S

is a complete free star (on

P

).

Proof.

.

From the previous theorem.

.

0

P

S

and

F

T

S

T

S

∅ ⇔ ∃

X

T

:

X

S

. Take

A

=

{

X

|

X

P

\

S

}

. We will

prove that

A

is a principal filter. That

A

is a filter follows from properties of free stars. It

remains to show that

A

is a principal filter. It follows from the following equivalence:

d

P

A ∈ A ⇔

F

P

h¬iA ∈ A ⇔

F

P

h¬iA

S

⇔ ¬∃

X

∈ h¬iA

:

X

S

⇔ ∀

X

∈ h¬iA

:

X

S

⇔ ∀

X

∈ A

:

X

∈ A ⇔

1

.

Proposition 25.

1. If

S

is a free star on

A

then

S

is a free star on

Z

, provided that

Z

is a join-semilattice and

the filtrator

(

A

;

Z

)

is down-aligned and with finitely join-closed core.

2. If

S

is a free star on

P

then

S

is a free star on

F

, provided that

Z

is a boolean lattice.

Proof.

1.

X

Z

Y

S

X

Z

Y

S

X

A

Y

S

X

S

Y

S

X

S

Y

S

for every

X , Y

Z

;

0

S

is obvious.

2. There exists a filter

F

such that

S

=

F

. For every filters

X

,

Y ∈

F

X ⊔

A

Y ∈

S

up

(

X ⊔

A

Y

)

S

⇔ ∀

K

up

(

X ⊔

F

Y

):

K

F ⇔ ∀

K

up

(

X ⊔

F

Y

):

K

F ⇔ X ⊔

F

Y

F ⇔ X ⊔

F

Y ∈

F ⇔ X ∈

F ∨ Y ∈

F ⇔ X

F ∨ Y

F ⇔ ∀

X

up

X

:

X

F ∨ ∀

Y

up

Y

:

Y

F ⇔ ∀

X

up

X

:

X

F ∨ ∀

Y

up

Y

:

Y

F ⇔

up

X ⊆

S

up

Y ⊆

S

X ∈

S

∨ Y ∈

S

;

0

S

up

0

S

0

S

what is false.

Corollary 26.

If

S

is a free star on

F

then

S

is a free star on

P

, provided that

P

is a join-

semilattice.

Proposition 27.

1. If

S

is a complete free star on

A

then

S

is a complete free star on

Z

, provided that

Z

is

a complete lattice and the filtrator

(

A

;

Z

)

is down-aligned and with join-closed core.

2. If

S

is a complete free star on

P

then

S

is a complete free star on

F

, provided that

Z

is

a boolean lattice.

4

Section 4