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2.

F

T

S

T

S

for every

T

P

S

.

3.

S

is an upper set.

Proof.

.

We need to prove only

F

T

S

T

S

. Let

F

T

S

. Because

S

is an upper set, we

have

X

T

:

Z

X

Z

F

T

Z

S

from which we conclude

T

S

.

.

We need to prove only

Z

A

: (

X

T

:

Z

X

Z

S

)

T

S

.

Really, if

Z

A

: (

X

T

:

Z

X

Z

S

)

then

F

T

S

and thus

F

T

S

T

S

.

Proposition 13.

Let

A

be a complete lattice.

S

P

A

is a complete free star iff the least element

(if it exists) is not in

S

and for every

T

P

A

G

T

S

T

S

.

Proof.

.

We need to prove only

F

T

S

T

S

what follows from that

S

is an upper set.

.

We need to prove only that

S

is an upper set. To prove this we can use the fact that

S

is

a free star.

4.1.1 Completely starrish posets

Definition 14.

I will call a poset

completely starrish

when the full star

⋆ a

is a free star for every

element

a

of this poset.

Obvious 15.

Every completely starrish poset is starrish.

Proposition 16.

Every complete join infinite distributive lattice is starrish.

Proof.

Let

A

be a join infinite distributive lattice,

a

A

. Obviously

0

⋆a

(if

0

exists); obviously

⋆ a

is an upper set. If

F

T

⋆a

, then

(

F

T

)

a

is non-least that is

F

h

a

⊓ i

T

is non-least what is

equivalent to

a

x

being non-least for some

x

T

that is

x

⋆ a

.

Theorem 17.

If

A

is a completely starrish complete lattice lattice then

atoms

G

T

=

[

h

atoms

i

T .

for every

T

P

A

.

Proof.

For every atom

c

we have:

c

atoms

F

T

c

F

T

F

T

⋆ c

⇔ ∃

X

T

:

X

⋆ c

⇔ ∃

X

T

:

X

c

⇔ ∃

X

T

:

c

atoms

X

c

S

h

atoms

i

T

.

4.2 More on free stars and complete free stars

Obvious 18.

F

=

F

for an element

F

of down-aligned finitely meet closed filtrator.

Corollary 19.

F

=

F

for every filter

F

on a poset.

Proposition 20.

F

=

F

for an element

F

of a filtrator with separable core.

Proof.

X ∈

F ⇔

up

X ⊆

F ⇔ ∀

X

∈ X

:

X

F ⇔ X

F ⇔ X ∈

F

.

Corollary 21.

F

=

F

for every filter

F

on a distributive lattice with least element.

Proposition 22.

For a semifiltered, star-separable, down-aligned filtrator

(

A

;

Z

)

with finitely meet

closed and separable core where

Z

is a complete boolean lattice and both

Z

and

A

are atomistic

lattices the following conditions are equivalent for any

F ∈

A

:

1.

F ∈

Z

.

Complete staroids and multifuncoids

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