background image

But

x

y

a

x

a

y

a

because

a

is an ultrafilter. So, the formula (1) holds, and we have

proved that

f

is really a staroid.

Take

X

be the constant function with value

A

and

Y

be the constant function with value

B

.

p

GR

f

:

p

X

because

p

i

X

i

a

; so GR

f

GR

Q

Strd

X

that is

f

Q

Strd

X

.

Finally,

Y

X

GR

f

because

X

Y

=

λi

U

:

A

B

.

Some conjectures similar to the above example:

Conjecture 82.

There exists a completary staroid

f

and an indexed family

X

of principal filters

(with arity

f

=

dom

X

and

(

form

f

)

i

=

Base

(

X

i

)

for every

i

arity

f

), such that

f

Q

Strd

X

and

Y

X

GR

f

for some

Y

GR

f

.

Conjecture 83.

There exists a staroid

f

and an indexed family

x

of ultrafilters (with arity

f

=

dom

x

and

(

form

f

)

i

=

Base

(

x

i

)

for every

i

arity

f

), such that

f

Q

Strd

x

and

Y

x

GR

f

for

some

Y

GR

f

.

Other conjectures:

Conjecture 84.

If staroid

0

f

a

Strd

n

for an ultrafilter

a

and an index set

n

, then

n

× {

a

} ∈

GR

f

.

(Can it be generalized for arbitrary staroidal products?)

Conjecture 85.

The following posets are atomic:

1. anchored relations on powersets;

2. staroids on powersets;

3. completary staroids on powersets.

Conjecture 86.

The following posets are atomistic:

1. anchored relations on powersets;

2. staroids on powersets;

3. completary staroids on powersets.

The above conjectures seem difficult, because we know almost nothing about structure of atomic

staroids.

Conjecture 87.

A staroid on powersets is principal iff it is complete in every argument.

Conjecture 88.

If

a

is an ultrafilter, then id

a

[

n

]

Strd

is an atom of the lattice of:

1. anchored relations of the form

(

P

Base

(

a

))

n

;

2. staroids of the form

(

P

Base

(

a

))

n

;

3. completary staroids of the form

(

P

Base

(

a

))

n

.

Conjecture 89.

If

a

is an ultrafilter, then

id

a

[

n

]

Strd

is an atom of the lattice of:

1. anchored relations of the form

F

(

Base

(

a

))

n

;

2. staroids of the form

F

(

Base

(

a

))

n

;

3. completary staroids of the form

F

(

Base

(

a

))

n

.

Informal problem: Formulate and prove associativity of staroidal product.

Bibliography

[1]

Victor Porton.

Algebraic General Topology. Volume 1

. 2014.

12

Section