background image

2. ID

A

[

n

]

Strd

=

id

A

[

n

]

Strd

if

(

A

;

Z

)

is a primary filtrator over a distributive lattice.

Proof.

1.

L

GR

ID

A

[

n

]

Strd

L

GR ID

A

[

n

]

Strd

MEET

(

{

L

i

|

i

n

} ∪ {A}

)

d

i

n

A

L

i

⊓ A

0

(by

finiteness)

d

i

n

Z

L

i

⊓ A

0

L

id

A

[

n

]

Strd

for every

L

Q

Z

.

2.

L

GR

id

A

[

n

]

Strd

up

L

GR id

A

[

n

]

Strd

⇔ ∀

K

up

L

:

K

GR id

A

[

n

]

Strd

⇔ ∀

K

up

L

:

d

i

n

Z

K

i

A ⇔ ∀

K

up

L

:

d

i

n

Z

K

i

A ⇔

(by finiteness and theorem 4.44??)

⇔∀

K

up

L

:

d

i

n

A

K

i

A ⇔ A ∈

T

h

i

d

i

n

A

K

i

|

K

up

L

 

(by the formula for finite meet of filters,

theorem 4.111??)

⇔A ∈

T

h

i

d

i

n

A

L

i

⇔ ∀

K

d

i

n

A

L

i

:

A ∈

⋆ K

⇔ ∀

K

d

i

n

A

L

i

:

A

K

(by

separability of core, theorem 4.112??)

d

i

n

A

L

i

A ⇔

L

ID

A

[

n

]

Strd

.

Proposition 78.

Let

(

A

;

Z

)

be a finitely meet closed filtrator.

ID

A

[

n

]

Strd

and id

A

[

n

]

Strd

are the same

for finite

n

.

Proof.

Because

d

i

dom

L

Z

L

i

=

d

i

dom

L

A

L

i

for finitary

L

.

8 Counter-examples and conjectures

The following example shows that the theorem 33 can’t be strenghtened:

Example 79.

For some multifuncoid

f

on powersets complete in argument

k

the following formula

is false:

h

f

i

l

(

L

∪ {

(

k

;

F

X

)

}

) =

F

x

X

h

f

i

l

(

L

∪ {

(

k

;

x

)

}

)

for every

X

P

P

k

,

L

Q

i

(

arity

f

)

\{

k,l

}

F

i

.

Proof.

Consider multifuncoid

f

= Λ

id

U

[3]

Strd

where

U

is an infinite set (of the form

P

3

) and

L

= (

Y

)

where

Y

is a nonprincipal filter on

U

.

h

f

i

0

(

L

∪ {

(

k

;

F

X

)

}

) =

Y

F

X

;

F

x

X

h

f

i

0

(

L

∪ {

(

k

;

x

)

}

) =

F

x

X

(

Y

x

)

.

It can be

Y

F

X

=

F

x

X

(

Y

x

)

only if

Y

is principal: Really:

Y

F

X

=

F

x

X

(

Y

x

)

implies

Y

F

X

F

x

X

(

Y

x

)

0

⇒ ∃

x

X

:

Y

x

and thus

Y

is principal. But we claimed

above that it is nonprincipal.

Example 80.

There exists a staroid

f

and an indexed family

X

of principal filters (with arity

f

=

dom

X

and

(

form

f

)

i

=

Base

(

X

i

)

for every

i

arity

f

), such that

f

Q

Strd

X

and

Y

X

GR

f

for some

Y

GR

f

.

Remark 81.

Such examples obviously do not exist if both

f

is a principal staroid and

X

and

Y

are

indexed families of principal filters (because for powerset algebras staroidal product is equivalent
to Cartesian product). This makes the above example inspired.

Proof.

(Monroe Eskew) Let

a

be any (trivial or nontrivial) ultrafilter on an infinite set

U

. Let

A, B

a

be such that

A

B

A, B

. In other words,

A

,

B

are arbitrary nonempty sets such that

A

B

A, B

and

a

be an ultrafilter on

A

B

.

Let

f

be the staroid whose graph consists of functions

p

:

U

a

such that either

p

(

n

)

A

for

all but finitely many

n

or

p

(

n

)

B

for all but finitely many

n

. Let’s prove

f

is really a staroid.

It’s obvious

px

for every

x

U

. Let

k

U

,

L

a

U

\{

k

}

. It is enough (taking symmetry into

account) to prove that

L

∪ {

(

k

;

x

y

)

} ∈

GR

f

L

∪ {

(

k

;

x

)

} ∈

GR

f

L

∪ {

(

k

;

y

)

} ∈

GR

f .

(1)

Really,

L

∪ {

(

k

;

x

y

)

} ∈

GR

f

iff

x

y

a

and

L

(

n

)

A

for all but finitely many

n

or

L

(

n

)

B

for all but finitely many

n

;

L

∪ {

(

k

;

x

)

} ∈

GR

f

iff

x

a

and

L

(

n

)

A

for all but finitely many

n

or

L

(

n

)

B

; and similarly for

y

.

Counter-examples and conjectures

11