background image

Identity Staroids

by Victor Porton

Email:

porton@narod.ru

Web:

http://www.mathematics21.org

1 Draft status

This text is a draft.

Read my book [1] before reading this. Well, most probably I will integrate materials from this

article into my book.

2 Additional propositions

Proposition 1.

h

f

i

k

X

|

X

up

Q

i

n

\{

k

}

A

i

;

Q

i

n

\{

k

}

Z

i

X

is a filter base on

A

k

for every family

(

A

i

;

Z

i

)

of filtrators where

i

n

for some index set

n

(provided that

f

is a multifuncoid of the form

A

and

k

n

and every

Z

i

for

i

n

\ {

k

}

is a filter base and

X ∈

Q

i

n

\{

k

}

A

i

).

Proof.

Let

K

,

L ∈ {h

f

i

k

X

|

X

up

X }

. Then there exist

X , Y

up

X

such that

K

=

h

f

i

k

X

,

L

=

h

f

i

k

Y

. We can take

Z

up

X

such that

Z

X , Y

. Then evidently

h

f

i

k

Z

⊑ K

and

h

f

i

k

Z

⊑ L

and

h

f

i

k

Z

∈ {h

f

i

k

X

|

X

up

X }

.

Proposition 2.

h

f

i

k

X

=

d

X

up

X

h

f

i

k

X

for a filtrator

Q

i

n

\{

k

}

F

i

;

Q

i

n

\{

k

}

P

i

(

i

n

for some index set

n

) where every

Z

i

is a boolean lattice,

k

n

, and

X ∈

Q

i

n

\{

k

}

F

i

.

Proof.

F

k

is separable by obvious 4.136??.

(

F

k

;

P

k

)

is with separable core by theorem 4.112??.

Y

h

f

i

i

X ⇔ X ∪ {

(

i

;

Y

)

} ∈

GR

[

f

]

⇔X ∪ {

(

i

;

Y

)

} ∈

GR

[

f

]

up

(

X ∪ {

(

i

;

Y

)

}

)

GR

[

f

]

X

up

X

, Y

up

Y

:

X

∪ {

(

i

;

Y

)

} ∈

GR

[

f

]

⇔∀

X

up

X

, Y

up

Y

:

Y

h

f

i

i

X

⇔ ∀

X

up

X

,

Y

up

Y

:

Y

⊓ h

f

i

i

X

0

⇔ ∀

Y

up

Y

: 0

{

Y

⊓ h

f

i

i

X

|

X

up

X } ⇔ ∀

Y

up

Y

:

0

h

Y

⊓ i{h

f

i

i

X

|

X

up

X } ⇔

(by properties of generalized filter bases)

⇔∀

Y

up

Y

:

d

h

Y

⊓ i{h

f

i

i

X

|

X

up

X }

0

⇔ ∀

Y

up

Y

:

Y

d

{h

f

i

i

X

|

X

up

X }

0

⇔ ∀

Y

up

Y

:

Y

d

X

up

X

h

f

i

i

X

⇔ Y

d

X

up

X

h

f

i

i

X

; so

h

f

i

i

X

=

d

X

up

X

h

f

i

i

X

.

3 On pseudofuncoids

Definition 3.

Pseudofuncoid

from a set

A

to a set

B

is a relation

f

between filters on

A

and

B

such that:

¬

(

I f

0)

,

I ⊔ J

f

K ⇔ I

f

K ∨ J

f

K

(for every

I

,

J ∈

F

(

A

)

,

K ∈

F

(

B

)

)

,

¬

(0

f I

)

,

K

f

I ⊔ J ⇔ K

f

I ∨ K

f

J

(for every

I

,

J ∈

F

(

B

)

,

K ∈

F

(

A

)

)

.

Obvious 4.

Pseudofuncoid is just a staroid of the form

(

F

(

A

);

F

(

B

))

.

Obvious 5.

[

f

]

is a pseudofuncoid for every funcoid

f

.

Example 6.

If

A

and

B

are infinite sets, then there exist two different pseudofuncoids

f

and

g

from

A

to

B

such that

f

(

P

×

P

) =

g

(

P

×

P

) = [

c

]

(

P

×

P

)

for some funcoid

c

.

Remark 7.

Considering a pseudofuncoid

f

as a staroid, we get

f

(

P

×

P

) =

f

.

1