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9.1 Last axiom of proximity

As the following propositions show (merge them into one theorem), the last axiom of proximity is
equivalent to transitivity of funcoids:

Proposition 34.

If

f

is a transitive, symmetric funcoid, then the last axiom of proximity holds.

Proof.

:

(

A

[

f

]

B

)

, :

(

A

[

f

¡

1

f

]

B

)

, h

f

i

B

 h

f

i

A

, 9

M

2

Ob

f

:

M

 h

f

i

A

^

M

 h

f

i

B

.

Proposition 35.

For a reexive funcoid, the last axiom of proximity implies that it is transitive

and symmetric.

Proof.

Let

:

(

A

[

f

]

B

)

implies

9

M

:

M

 h

f

i

A

^

M

 h

f

i

B

. Then

:

(

A

[

f

]

B

)

implies

:

(

A

[

f

¡

1

f

]

B

)

that is

f

w

f

¡

1

f

and thus

f

=

f

¡

1

f

. By theorem ??(about transitive

endomorphisms)

f

is transitive and symmetric.

So proximity spaces are the same as reexive, symmetric, transitive funcoids.
Remove all other denitions of uniform spaces, to be dened exactly once.

10 Misc

Say that

(

FCD

)

and

"

FCD

,

"

RLD

are functors.

F

f

F

(

x

)

j

x

2

A

g !

F

x

2

A

F

(

x

)

(rst dene this notation).

Dene

C

(

A

;

B

) =

Mor

C

(

A

;

B

)

.

Change superusous notation:

"

FCD

(

A

;

B

)

f

! "

FCD

(

A

;

B

;

f

)

and likewise for

RLD

. The old

notation is sometimes useful as in the denition

 =

d

"

F

(

R

)

(

¡

"

;

"

)

j

"

2

R

; " >

0

 

.

Proofs that

"

FCD

(

g

f

) =

"

FCD

g

 "

FCD

f

and

"

RLD

(

g

f

) =

"

RLD

g

 "

RLD

f

.

Probably, id

C

(

A

)

!

1

A

C

and leave id

A

FCD

for restricted identity funcoids and reloids.

Theorem 36.

A complete lattice is atomistic i it is atomically separable.

Proof.

)

.

Let our poset is atomistic. Then obviously atoms

a

=

/

atoms

b

for elements

a

=

/

b

.

(

.

Let atoms be injective. Consider an element

a

of our poset. Let

b

=

F

atoms

a

. Obviously

b

v

a

and thus atoms

b

atoms

a

. But if

x

2

atoms

a

then

x

v

b

and thus

x

2

atoms

b

. So

atoms

a

=

atoms

b

. By injectivity

a

=

b

that is

a

=

F

atoms

a

.

Denition 37.

F

C

X

=

def

F

C

(

Src

X

;

Dst

X

)

X

for a morphism

X

of a directed multigraph

C

each

Mor-set of which is a poset. Similarly for

d

,

t

,

u

.

Say: Whilst I have (mostly) throughly studied basic properties of funcoids,

staroids

(dened

below) are yet much a mystery. For example, we do not know whether the set of staroids on
powersets is atomic.

star-comparison.tm
cross-composition-funcoids.tm
todd-notes.tm

11 Errors

Theorem 17.150. Anchored relations with objects being atomic posets and above dened compo-
sitions form a quasi-invertible category with star-morphisms.

It is wrong, because composition of a star-morphism

m

with identify morphisms may be not

equal to

m

. In the denition of general cross-composition product we can replace quasi-invertible

category with quasi-invertible pre-category.

Bibliography

[1]

Victor Porton. Filters on posets and generalizations.

International Journal of Pure and Applied Mathematics

,

74(1):55119, 2012.

http://www.mathematics21.org/binaries/filters.pdf

.

Bibliography

9