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Conjecture 31.

For an injective funcoid

f

:

1.

h

f

i

d

F

S

=

d

X

2

S

h

f

i

X

and

S

2

PP

Src

f

.

2.

h

f

i

d

F

S

=

d

X

2

S

h

f

i

X

and

S

2

P

F

Src

f

.

Equality

(

T

G

)

f

=

T

g

2

G

(

g

f

)

for every

G

implies that

f

is a function. Generalize for

funcoids and reloids.

I do some research in:

backward.pdf

multireloids-relationships.pdf

Question: Can we restore the set of binary relations, knowing only order of

FCD

(

A

;

B

)

? Note that it

is not the center of the lattice, as not all funcoids are in the center. Yes, it can be characterized as
joins of complemented funcoids or joins of complemented atomic funcoids. Is every complemented
funcoid principal? This way principality can be generalized for pointfree funcoids. The set of
principal p.f. funcoids is join-closed. When ltrator of pointfree funcoids is ltered?

Should we extend ltrators with nite join/meet closed core to nullary closed (having

bottom/top)?

The old concept shall be named binary join/meet closed ltrators.

These are related

with up/down aligned ltrators.

a

?

b

=

F

f

z

2

A

j

a

w

b

u

z

g

=

b

n

a

=

b

t

a

for lters. Also dual of second quasidierence.

Dene Fréchet element for a ltrator by the formula

 =

max

fX 2

F

j

Cor

X

= 0

Z

g

. (It uses

the formula Cor

F

F

S

=

F

F

h

Cor

i

S

which in turn uses properties of Fréchet lter, so this would

probably a circular proof.)

What about pseudocomplement lter of innite joins and meets of lters?
Write an explicit formula for composition with a complete reloid (with the function

F

(

)

to

which the complete reloid bijectively corresponds). Using this formula prove that complete reloids
are meta-complete. Also for funcoids.

Conjecture 32.

= [

f

]

for a funcoid

f

i all of the following:

[TODO: generalize for staroids]

1.

:

(0

Y

)

2.

:

(

X

0)

3.

(

I t J

)

K , I

K _ J

K

;

4.

K

(

I t J

)

, K

I _ K

J

;

5.

X

[

f

]

d

S

, 8Y 2

S

:

X

[

f

]

Y

for ltered set

S

of lters;

6.

d

S

[

f

]

Y , 8X 2

S

:

X

[

f

]

Y

for ltered set

S

of lters.

Conjecture 33.

Every funcoid is a composition of a co-complete funcoid and complete funcoid (or

vice versa?)

[TODO: Try to prove it using the fact that a funcoid is a join of products of ultralters.

What's about reloids?] [TODO: If this conjecture is false, what about representing every funcoid
as compositon of three funcoids: complete, principal, and co-complete?]

The following are equivalent for a funcoid

f

(call it

strictly monovalued funcoid

):

1.

f

is a function restricted to a lter;

2.

f

corresponds to a monovalued reloid;

3. Is it equivalent to monovaluedness of

(

RLD

)

in

f

or

(

RLD

)

out

f

? (

(

RLD

)

in

f

is not monovalued

if

f

is an identity)

4. other? (no ideas: open question)

Use the above result for ordering of lters.

Homeomorphisms between funcoids. They are also isomorphisms between lters?
Check current.tm and other les.
Preservatoin of properties (reexivity, summetry, etc.) of funcoids and reloids by lattice oper-

ations.

8

Section 9