background image

We can limit to the case when

L

is a reloidal product. Then

L

2

\

f

up

(

f

x

RLD

h

g

if

x

g

)

j

x

2

Src

f

g

=

\

fff

x

Y

j

Y

2

up

h

g

if

x

gg j

x

2

Src

f

g

:

It's enough to prove that

L

2

up

g

. Really,

8

x

2

Src

f

:

h

L

i

f

x

g 2

up

h

g

if

x

g

because

h

L

i

f

x

g  h

T

i

f

x

g

for

T

=

\

fff

x

Y

j

Y

2

up

G

(

x

)

g j

x

2

Src

f

g

:

and thus

h

L

i

f

x

\

ffhf

x

Y

i

f

x

0

g j

x

0

=

x; Y

2

up

G

(

x

)

g j

x

2

Src

f

g

=

f

Y

j

Y

2

up

G

(

x

0

)

g

=

up

G

(

x

0

)

:

So

h

L

i

f

x

g 2

up

h

g

if

x

g

and thus

L

2

up

g

.

Corollary 27.

f

=

/

g

)

(

RLD

)

out

f

=

/ (

RLD

)

out

g

for complete funcoids

f

and

g

.

Theorem 28.

Composition of complete reloids is complete.

Proof.

Let

f

,

g

be complete reloids. Then

(

FCD

)(

g

f

) = (

FCD

)

g

(

FCD

)

f

. Thus (because

(

FCD

)(

g

f

)

is a complete funcoid) we have

g

f

= (

RLD

)

out

((

FCD

)

g

(

FCD

)

f

)

, but

(

FCD

)

g

(

FCD

)

f

is a complete funcoid, thus

g

f

is a complete reloid.

Theorem 29.

1.

(

RLD

)

out

g

(

RLD

)

out

f

= (

RLD

)

out

(

g

f

)

for composable complete funcoids

f

and

g

.

2.

(

RLD

)

out

g

(

RLD

)

out

f

= (

RLD

)

out

(

g

f

)

for composable co-complete funcoids

f

and

g

.

Proof.

Let

f

,

g

are composable complete funcoids.

(

FCD

)((

RLD

)

out

g

(

RLD

)

out

f

) = (

FCD

)(

RLD

)

out

g

(

FCD

)(

RLD

)

out

f

=

g

f

.

Thus (taking into account that

(

RLD

)

out

g

(

RLD

)

out

f

is complete) we have

(

RLD

)

out

g

(

RLD

)

out

f

= (

RLD

)

out

(

g

f

)

.

For co-complete funcoids it's dual.

9 Not yet written

Continuity in metric spaces is continuity in topology spaces; uniform continuity in metric spaces
is continuity in proximity and uniform spaces.

Pointfree analog of the lattice

¡

. Also consider the lattice of nite unions of funcoidal products

of tlers (and generalizations).

Introduce core of a lattice

FCD

(

F

(

A

);

F

(

B

))

as

FCD

(

A

;

B

)

. Generalize it for staroids. Also

lter on

FCD

(

A

;

B

)

can be considered as pointfree reloids.

Uniform spaces (or proximities?) are equivalent to sets of lters? (Do tornings bijectively

correspond to uniform spaces?)

Is Cor a functor for a. funcoids; b. reloids? Isn't it adjoint of

"

FCD

or

"

RLD

?

Adjunction

of

prefunctors:

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0304397585900623 (free download, also Google
for pre-adjunction, also semi instead of pre) Are

(

FCD

)

and

(

RLD

)

in

adjunct?

Denition 30.

A morphism of a category each Mor-sets of which is a meet-semilattice, is

weakly

metamonovalued

i

(

g

u

h

)

f

= (

g

f

)

u

(

h

f

)

. Similarly dene

weakly metainjective

.

Prove that monovalued, metamonovalued, and weakly metamonovalued are the same for Rel,

FCD

, and

RLD

.

What are pointfree funcoids between

P

A

and

P

B

?

Not yet written

7