 5 Staroids and multifuncoids

(

val

f

)

i

L

and

h

f

i

i

L

coincide.

Change notation

[

f

]

!

[

f

]

,

[

f

]

!

[

f

]

(for staroids).

I assumed that upgrading a staroid is a staroid without proof. Fill this hole. (Denition 17.69

for an example.) This is addressed in theorem 17.83.

Because the set of free stars is identied with the set of lters, the set of staroids (of a given

form) can be identied with the set of multifuncoids on primary ltrators

(

A

i

;

Z

i

)

. Can all staroids

and all multifuncoids be identied?

This allows to thoroughly revise the theory of staroids and multifuncoids.
The last chapter of my book (Identity staroids) contains errors. I am going to rewrite it after

switching to this new notation.

[TODO: Generalize Funcoids are lters for staroids (call it

hyperfuncoids

).]

Theorem 11.

h

f

i

k

a

=

d

A

2

up

a

F

h

f

i

k

A

for every multifuncoid

f

of the form

A

where

k

2

arity

f

and

A

k

is a poset of lter objects on a boolean lattice and

a

is an

(

arity

f

)

n f

k

g

family of lters.

[TODO: Say exactly which family of lters is meant.]

Proof.

/

h

f

i

k

a

,

a

[ f

(

k

;

X

)

g 2

GR

[

f

]

,

up

(

a

[ f

(

k

;

X

)

g

)

GR

[

f

]

,8

A

2

up

a;

X

2

up

X

:

A

[ f

(

k

;

X

)

g 2

GR

[

f

]

,8

A

2

up

a; X

2

up

X

:

X

/

h

f

i

k

A

,

(because it is

separable)

,8

A

2

up

a

:

/

h

f

i

k

A

,

(by properties of generalized lter bases and the fact that

[

f

]

is an upper set)

,X

/

d

A

2

up

a

F

h

f

i

k

A

.

So

h

f

i

k

a

=

d

A

2

up

a

F

h

f

i

k

A

because lters on boolean lattice are separable,

Example 12.

There is such anchored relation

f

that

"

f

is not a completary staroid.

[TODO:

Remove the conjecture about this.] [TODO: This also proves existence of non completary staroids
(but not for powersets).]

Proof.

(based on an Andreas Blass's proof)

Take

f

the set of functions

x

:

N

!

N

where

x

0

an arbitrary natural number and

x

i

=

0

if

n

6

x

0

1

if

n > x

0

for

i

= 1

;

2

;

3

; :::

.

Let

L

0

(0) =

L

1

(0) = (

N

)

,

L

0

(

i

) =

"f

0

g

and

L

1

(

i

) =

"f

1

g

for

i >

0

.

Let

X

2

up

(

L

0

t L

1

)

that is

X

2

up

L

0

\

up

L

1

.

X

0

contains all but nitely many elements of

N

.

For

i >

0

we have

f

0

;

1

X

.

Evidently,

Q

X

contains an element of

f

.

Now consider any xed

c

2 f

0

;

1

g

N

. There is at most one

k

2

N

such that the sequence

x

=

J

k

;

c

(1);

c

(2);

:::

K

(i.e.

c

with

c

(0)

replaced by

k

) is in

f

. Let

Q

=

N

n f

k

g

if there is such a

k

and

Q

=

N

otherwise.

Take

Y

i

=

Q

if

i

= 0

f

c

(

i

)

g

if

i >

0

for

i

= 1

;

2

;

3

; :::

. We have

Y

2

up

(

i

2

N

:

L

c

(

i

)

(

i

))

.

But evidently

Q

Y

does not contain an element of

f

.

Example 13.

There exists such an (innite) set

N

and

N

-ary relation

f

that

P 2

f

but there

are no indexed family

a

2

Q

i

2

N

atoms

P

i

of atomic lters such that

a

2

GR

f

that is

8

A

2

up

a

:

f

/

Q

A

.

Proof.

Take

L

0

,

L

1

and

f

from the proof of example

12

Take

P

=

L

0

t L

1

. If

a

2

Q

i

2

N

atoms

P

i

then there exists

c

2 f

0

;

1

g

N

such that

a

i

v L

c

(

i

)

(

i

)

(because

L

c

(

i

)

(

i

) =

/ 0

). Then from that example

it follows that

(

i

2

N

:

L

c

(

i

)

(

i

))

2

/

GR

f

and thus

a

2

/

GR

f

.

Example 14.

There is such an anchored relation

F

that for some

k

2

dom

F

h

"

F

i

k

L

=

/

G

a

2

Q

i

2

(

dom

F

)

nf

k

g

atoms

L

i

F

h

"

F

i

k

a:

Staroids and multifuncoids

3