background image

The main (intuitive) idea of the theorem is expressed by the implication

P

1

)

P

n

, the rest

implications (

P

2

)

P

n

,

P

3

)

P

n

, ...) are purely technical, as they express generalizations of the

main idea.

For uniformity theorems in the section about lters and ltrators start with the same

P

1

(

A

;

Z

)

is a powerset ltrator.

3 Theory of lters

Explicitly dene order and lattice operations for ideals, free stars, and mixers.

For ltrators, lters, funcoids, and reloids write lattice operations without explicit posets.

(About free stars and similar things) say that presence of least element is the same as presence

of the entire poset are equivalent if there is the least element.

I have discovered that there are four sets (including the set of lters itself) isomorphic to the

set of lters on any poset.

See http://www.mathematics21.org/binaries/dual-lters.pdf
As there are several isomorphic sets, it makes sense to describe it more generally than the

special case of the set of lters.

We shall dierentiate between st

A

=

h

dual

i

:

up

A

=

:h

dual

i

up

A

and

@

A

. There is also the

isomorphism with boolean lattices; how to denote it?

To describe this I redene

primary ltrator

(earlier dened as a ltrator

(

F

;

Z

)

where

F

is the

set of lters on a poset

Z

) in an other (non-equivalent) way.

Denition 4.

A

primary ltrator

is such a ltrator

(

A

;

Z

)

that

A

is isomorphic to the set of lters

on the poset

Z

.

Denition 5.

A primary ltrator

over

a poset

Z

is a primary ltrator of the form

(

A

;

Z

)

.

Theorem 6.

For every poset

Z

there exists a primary ltrator over

Z

.

Proof.

See [

1

].

What I called complete free stars could be better called

principal free stars

. The same is true

for ideals and mixers. I should write explicit characterizations of principality for all four kinds
of lter objects.

Proposition 7.

All lters on a nite poset are principal.

Get an elementary proof from http://math.stackexchange.com/questions/1206777/an-elemen-

tary-proof-about-lters (also elementary.tm)

http://math.stackexchange.com/questions/462270/are-all-atoms-of-the-lattice-of-lters-prin-

cipal-lters

I've conjectured that lters on every meet-semilattice are co-brouwerian. It is not so! (take a

non-distribuitive nite lattice) So distributivity is necessary.

Proposition 8.

@

(

U

)

is the set of innite subsets of

U

.

Proposition 9.

Cor

a

=

Cor

0

a

=

a

for every element

a

of the core of a ltrator.

4

2

-staroids

Denition 10.

2

-staroid is a binary relation

between two posets such that

f

Y

2

B

j 9

X

2

A

:

X  Y

g

and

f

X

2

A

j 9

Y

2

B

:

X  Y

g

are free stars.

[TODO: Say that

2

-staroids are a special case

of staroids.]

2

Section 4