background image

Rewrite plan for my research monograph

by Victor Porton

July 31, 2015

This is my plan to rewrite my draft research monograph Algebraic General Topology. Volume

1.

Say that the book intended mainly to represent the current status of my research.
Add thanks to Todd Trimble and Andreas Blass, Robert Martin Solovay.
Shall I denote sets like

x

2

A

P

(

x

)

instead of

f

x

2

A

j

P

(

x

)

g

?

Remove multiple labels of the same theorem.
Notations for meets and joins for partially ordered categories.

1 Immediate actions

What I am going to do next:

1.

Replace hardcoded item references with L

A

TEX cross-references.

2.

Rewrite with arbitrary primary ltrators rather than lters. (Instead

F

say 

A

is base of a

primary ltrator.)

3.

Join theorems into implication tuples. (Move theorems back not forward! Otherwise a
dependent theorem may occur before it.)

4. Generalize theorems using the formula of meet of lters for distrubutive lattices for meet-

semilattices.

2 Implications tuples

In the old version of my book there are multiple situations where there are both theorems of the
form

B

)

C

and

A

)

C

where the

A

)

C

is proved using that

A

)

B

and

B

)

C

. It is accompanied

with verbal explanation, that in these theorems

C

is the most important component of the theorems

and

B

)

C

is a boring generalization of the main theorem

A

)

C

.

I decided to rewrite every occurence of this case as single theorem

A

)

B

)

C

with multiple

implications. (There may be more than two implications, in general it is a

P

1

)

:::

)

P

n

implica-

tion.)

To describe such implications verbally, I dene implications tuples.

Denition 1.

An

implications tuple

is a tuple

(

P

1

; :::; P

n

)

such that

P

1

)

:::

)

P

n

.

Obvious 2.

(

P

1

; :::; P

n

)

is an implications tuple i

P

i

)

P

j

for every

i < j

(where

i; j

2 f

1

; :::; n

g

).

The following is an example of a theorem using an implication tuple:

Example 3.

The following is an implications tuple:

1.

A

;

2.

B

;

3.

C

.

This example means just that

A

)

B

)

C

.

I prefer here a verbal description instead of symbolic implications

A

)

B

)

C

, because

A

,

B

,

C

may be long English phrases and they may not t into the formula layout.

1