 Proposition 27.

τ

(

x

) [

ν

]

τ

(

y

)

x

[

ν

]

y

.

Proof.

??

Metasingular numbers

Let

y

SLA

(

Ob

µ

)

. I will denote

r

(

y

)

such

x

Ob

ν

that

τ

(

x

) =

y

, if such

x

exists.

I will call

base singular numbers

the set BSN

=

Ob

ν

SLA

(

Ob

ν

)

SLA

(

SLA

(

Ob

ν

))

.

[TODO: Set that this union is disjoint.]

I will call

meta-singular numbers

the set MSN

=

{

y

SLA

(

Ob

ν

)

|

x

BSN

:

y

=

τ

(

x

)

}

.

Definition 28.

I call

reduced

BSN its corresponding MSN (that is

r

applied to our BSN a natural

number of times while possible).

Definition 29.

I call

reduced limit

the reduced generalized limit.

Functions with meta-singular numbers as arguments

Let

f

is an

n

-ary (

n

is an arbitrary possibly infinite index set) function on Ob

ν

. Then define

function

f

on SLA

(

Ob

ν

)

as:

f

(

b

) =

(

g

Y

(

A

)

b

|

g

f

)

.

We can’t use cross-composition product instead of above sub-atomic product because cross-compo-
sition product is not a funcoid (just a pointfree funcoid). We can replace sub-atomic product with
displaced product, but as about my opinion displaced product seems more weird an inconvenient.

The above induces a trivial definition of functions on MSN but only for functions of finite arity
(because having a finite set of MSN we can raise them to the same (maximum) level).

On differential equations

Replacing limit in the definition of derivative with the above defined reduced limit, the base set
Ob

µ

with MSN and operations

f

on the set Ob

µ

with corresponding operations on MSN, we get

a new interpretation of a differential equation (DE) (ordinary or partial).

Let call such (enhanced) differential equations

meta-singular equations

(as opposed to

non-singular

equations

that is customary differential equations).

There arise the following questions:

Definition 30.

I call a solution of a DE a

trivial restriction

if it is a restriction (to the set of non-

singular points) of exactly one enhanced DE.

We need to find when there are solutions which are not trivial restrictions.

Then we can split such non-trivial solutions into following classes:

“added solutions” are solutions whose restriction to non-singularity points is not a non-
singular solution;

5