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Remark 1.

It is a

very

rough partial draft. It is meant to express a rough research idea, not to

be correct, readable, or complete. First read the book:

http://www.mathematics21.org/algebraic-general-topology.html upon which this formalistic is
based (especially about the definition of generalized limit).

See also http://planetmath.org/MetasingularNumbers

The idea is simple (for these who know funcoids theory). But to find exact formulations about this
is notoriously difficult. Below are attempts to formulate things about the theory of singularities.

New theory

Definition 2.

Singularity level

is a transitive,

T

2

-separable endofuncoid.

Let

ν

be a singularity level. Let

be a filter.

Define SLA

(

ν

)

as:

Ob SLA

(

ν

) =

{

ν

f

|

f

is a monovalued funcoid with domain

}

X

[

SLA

(

ν

)]

Y

⇔ ∃

x

X

K

GR

x

L

Y

:

L

K

[FIXME: It is probably not a funcoid.]

Remark 3.

GR

x

is used despite of it is a funcoid not reloid.

Proposition 4.

SLA

(

ν

)

is an endofuncoid.

Proof.

¬

(

[

SLA

(

ν

)]

Y

)

and

¬

(

X

[

SLA

(

ν

)]

)

are obvious.

I

J

[

SLA

(

ν

)]

Y

I

[

SLA

(

ν

)]

Y

J

[

SLA

(

ν

)]

Y

is obvious.

X

[

SLA

(

ν

)]

I

J

⇔ ∃

x

X

K

GR

x

L

I

J

:

L

K

⇔ ∃

x

X

K

GR

x

:

(

L

I

:

L

K

∨ ∃

L

J

:

L

K

)??

??

Alternative definition:

[FIXME: It is probably not a funcoid.]

Definition 5.

X

[

SLA

(

ν

)]

Y

⇔ ∃

z

Ob

µ

K

GR

z

x

X , y

Y

:

x, y

K

Proposition 6.

SLA

(

ν

)

is a funcoid.

Proof.

X

[

SLA

(

ν

)]

Y

⇔ ∃

z

Ob

µ , x

X , y

Y

K

(

GR

z

)

X

×

Y

:

x, y

K

x,y

??

I

J

[

SLA

(

ν

)]

Y

⇔ ∃

z

Ob

µ

K

GR

z

x

I

J , y

Y

:

x, y

K

⇔ ∃

z

Ob

µ

K

GR

z

:

(

y

Y

:

y

K

(

x

I

:

x

K

∨ ∃

x

J

:

x

K

))

⇔ ∃

z

Ob

µ

K

GR

z

: ((

y

Y

:

y

K

∧ ∃

x

I

:

x

K

)

(

y

Y

:

y

K

∧ ∃

x

J

:

x

K

))

??

Proposition 7.

SLA

(

ν

)

is

T

2

-separable.

Proof.

??

Proposition 8.

SLA

(

ν

)

is transitive.

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