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Zero

Z

for a form is the empty relation of that form.

Proposition 27.

The quasi-cartesian situation of anchored relations is really a quasi-cartesian

situation.

Proof.

We need to prove

ρ

Z

ρ

=

ρ

. Really let

f

is an anchored relation of the form

A

. Then

Zρf

is the zero relation of the same form

ρf

. Consequently

ρZρf

=

ρf

.

Proposition 28.

Reindexation product (for small indexed families of relation) is a quasi-cartesian

function with injective aggregation from the quasi-cartesian situation of anchored relations to the
same quasi-cartesian situation.

Proof.

First prove that it is a pre-quasi-cartesian function. We need to show that for every small

indexed families

x

,

y

of anchored relations:

1.

x

ZC

Q

(

D

)

x

=

Z

ρ

Q

(

D

)

x

;

2.

ρ

x

=

ρ

y

ρ

Q

(

D

)

x

=

ρ

Q

(

D

)

y

;

that is

1.

x

ZC

Q

(

D

)

x

=

Z

arity

Q

(

D

)

x

;

2. arity

x

=

arity

y

arity

Q

(

D

)

x

=

arity

Q

(

D

)

y

;

that is

1.

x

ZC

Q

(

D

)

x

=

Z

arity

Q

(

D

)

x

;

2. arity

x

=

arity

y

uncurry

(

arity

x

) =

uncurry

(

arity

y

)

;

but these formulas are obvious.

Next prove that it is a quasi-cartesian function. We need to show that for every indexed family of
sets

 

Y

(

D

)

x

!

|

{

x

X

dom

A

|

ρ

x

=

A

}\

ZC

is injection. This follows from the known fact that

(

Q

x

)

|

{

x

X

dom

A

|

ρ

x

=

A

}\

ZC

is an injection.

Last, we need to prove that it is with injective aggregation. Define

Υ(

ρ

x

) =

ρ

Q

(

D

)

x

that is

Υ(

arity

x

) =

uncurry

(

arity

x

)

that is

Υ

p

=

uncurry

p

. Obviously this

Υ

is injective.

Proposition 29.

Ordinated product (for small indexed families of relation) is a quasi-cartesian

function from the quasi-cartesian situation of anchored relations to the same quasi-cartesian situ-
ation.

Proof.

First prove that it is a pre-quasi-cartesian function. We need to show that for every small

indexed families

x

,

y

of anchored relations:

1.

x

ZC

Q

(

ord

)

x

=

Z

ρ

Q

(

ord

)

x

;

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