background image

i

n

:

z

i

a

i

(taken in account that

a

i

0

) and

i

n

:

z

i

b

i

.

So there exists

z

such that

z

Q

FCD

a

and

z

Q

FCD

b

.

Q

FCD

a

Q

FCD

b

.

Corollary 48.

Q

FCD

is an order-preserving quasi-cartesian function from the (defined in an

obvious way) quasi-cartesian situation of separable posets with least elements to the (defined in an
obvious way) quasi-cartesian situation of multifuncoids.

[TODO: Write the definitions explicitly.]

Theorem 49.

Cross-composition product (for small indexed families of pointfree funcoids between

separable atomic posets with least elements and atomistic posets) is an order-preserving quasi-
cartesian function from the quasi-cartesian situation

S

0

of pointfree funcoids over posets with least

elements to the quasi-cartesian situation

S

1

of pointfree funcoids over posets with least elements.

Proof.

It follows from the formula (2).

[TODO: More detailed proof.]

[TODO: Ordinated product is a quasi-cartesian function with injective aggregation.]

[TODO: Reloidal product is an order-preserving quasi-cartesian function.]

[TODO: Upgrading/downgrading quasi-cartesian functions? This is related with displaced pro-
duct. First prove that upgrading is injective and that injection composed with a quasi-cartesian
function is quasi-cartesian.]

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