 This is a draft which I will never publish. It is because this theory is unnecessarity comlex but has
no applications.

Quasi-cartesian functions

Above we have defined several different kinds of product. These products resemble cartesian pro-
duct. Saying this formally, these functions are quasi-cartesian as defined below.

First (before formal definitions) I will give an example of a quasi-cartesian function. The first and
the most prominent example is certain quasi-cartesian situation

S

together with the well known

quasi-cartesian function

cartesian product of an indexed family of sets

. Below is a quasi-cartesian

situation

S

:

1.

Forms

are small sets.

2.

Arguments

are pairs

(

;

r

)

where

is a form and

r

P

.

3. The

form corresponding to an argument

(

;

r

)

is

.

4.

Zero

for the form

is defined by the formula

Z

= (

;

)

.

The

quasi-cartesian function

f

from

S

to

S

is defined by the formula

f

(

λi

D

: (

i

;

r

i

)) =

Y

i

;

Y

r

i

.

Now proceed to the formal definitions:

Definition 1.

A quasi-cartesian situation

S

is:

1. a set

F

(forms);

2. a set

X

(arguments);

3. a function

ρ

F

X

(forms of arguments);

4. a function

Z

X

F

(zeros)

such that

ρ

Z

ρ

=

ρ

.

Definition 2.

The set

ZC

is the set of such small indexed families of arguments that for every

small indexed family

x

of arguments

x

ZC

⇔ ∃

i

dom

x

:

x

i

=

Z

(

ρ

(

x

i

))

.

(1)

Remark 3.

For theorems below we will need only that ZC is a set of indexed families of arguments.

The formula (1) is not required, but there are no need to generalize here.

Let fix two quasi-cartesian situations

S

0

(

source

) and

S

1

(

destination

).

Definition 4.

A pre-quasi-cartesian function is a function

f

such that the image of

f

is a subset

of

X

1

and every element of the domain of

f

is an indexed family of elements of

X

0

such that:

1.

x

ZC

0

fx

=

Z

1

(

ρ

1

fx

)

for every

x

dom

f

;

2.

ρ

0

x

=

ρ

0

y

ρ

1

fx

=

ρ

1

fy

for every

x, y

dom

f

.

1