 Lemma 44.

f

2

Mor

cont

(

C

)

`

(

L

)

F

;

Y

is continuous i all

f

cont

(

C

)

are continuous.

Theorem 45.

`

(

L

)

together with

L

is a (partial) coproduct in the category cont

(

C

)

.

6 Applying this to the theory of funcoids and reloids

6.1 Funcoids

Denition 46.

Fcd

=

def

cont

(

FCD

)

.

Let

F

be a family of endofuncoids.

The cartesian product

Q

(

Q

)

X

=

def

Q

X

.

I dene

i

=

i

X

2

FCD

(

Q

X

;

X

i

)

as the principal funcoid corresponding to the

i

-th projection.

(Here

is entirely dened.)

The disjoint union

`

(

Q

)

X

=

def

`

X

.

I dene

i

=

i

X

2

FCD

(

X

i

;

`

X

)

as the principal funcoid corresponding to the

i

-th canonical

injection. (Here

is entirely dened.)

Let

N

and

L

be dened in the same way as in category Set.

Obvious 47.

i

N

f

=

f

i

;

N

i

2

n

(

i

f

) =

f

.

Obvious 48.

(

L

f

)

i

=

f

i

;

L

i

2

n

(

f

i

) =

f

.

It is easy to show that

i

is entirely dened monovalued, and

i

is metacomplete and co-

metacomplete.

Thus we are under conditions for both canonical products and canonical coproducts and thus

both

Q

(

L

)

F

and

`

(

L

)

F

are dened.

6.2 Reloids

Denition 49.

Rld

=

def

cont

(

RLD

)

.

Let

F

be a family of endoreloids.

The cartesian product

Q

(

Q

)

X

=

def

Q

X

.

I dene

i

=

i

X

2

RLD

(

Q

X

;

X

i

)

as the principal reloid corresponding to the

i

-th projection.

(Here

is entirely dened.)

The disjoint union

`

(

Q

)

X

=

def

`

X

.

I dene

i

=

i

FCD

(

Z

1

)

2

RLD

(

X

i

;

`

X

)

as the principal reloid corresponding to the

i

-th canonical

injection. (Here

is entirely dened.)

Let

N

and

L

are dened in the same way as in category Set.

Obvious 50.

i

N

f

=

f

i

;

N

i

2

n

(

i

f

) =

f

.

Obvious 51.

(

L

f

)

i

=

f

i

;

L

i

2

n

(

f

i

) =

f

.

It is easy to show that

i

is entirely dened monovalued, and

i

is metacomplete and co-

metacomplete.

Thus we are under conditions for both canonical products and canonical coproducts and thus

both

Q

(

L

)

F

and

`

(

L

)

F

are dened.

It is trivial that for uniform spaces inmum product of reloids coincides with product uni-

formilty.

Applying this to the theory of funcoids and reloids

7