background image

Theorem 29.

Q

(

L

)

together with

N

is a (partial) product in the category cont

(

C

)

.

Proof.

Obvious.

Check http://math.stackexchange.com/questions/102632/how-to-check-whether-it-is-a-direct-

product/102677#102677

4 On duality

We will consider duality where both the category

C

and orders on Mor-sets are replaced with their

dual. I will denote

A

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$ $

dual

B

when two formulas

A

and

B

are dual with this duality.

Proposition 30.

f

2

C

(

;

)

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$ $

dual

f

y

2

C

(

y

;

y

)

.

Proof.

f

2

C

(

;

)

,

f

v

f

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$ $

dual

y

f

y

w

f

y

y

¡

1

,

f

y

2

C

(

y

;

y

)

.

f

is entirely dened

,

f

y

f

w

1

Src

f

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$ $

dual

f

y

f

v

1

Src

f

,

f

is injective

,

f

y

is monovalued.

f

is monovalued

,

f

f

y

v

1

Dst

f

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$ $

dual

f

f

y

w

1

Dst

f

,

f

is surjective

,

f

y

is entirely dened.

5 General coproduct in partially ordered dagger category

The below is the dual of the above, proofs are omitted as they are dual.

Let

i

[TODO: What is

i

?]

are entirely dened monovalued morphisms to an object

Z

.

Let

i

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$

$ $

dual

i

that is

i

= (

i

)

y

. We have the above equivalent to

i

being monovalued and

entirely dened.

5.1 Supremum coproduct

Let

C

be a dagger category, each Mor-set of which is a complete lattice (having order agreed with

the dagger).

We will designate some morphisms as

principal

and require that principal morphisms are both

metacomplete and co-metacomplete. (For a particular example of the category Rel, all morphisms
are considered principal.)

Let

`

(

Q

)

X

be an object for each indexed family

X

of objects.

Let

be a partial function mapping elements

X

2

dom

(which consists of small indexed families

of objects of

C

) to indexed families

X

i

!

`

(

Q

)

X

of principal morphisms (called

injections

) for

every

i

2

dom

X

.

Denition 31.

Supremum coproduct

`

(

L

)

F

(such that

is dened at

j

2

n

:

Dst

F

j

and

j

2

n

:

Src

F

j

) is dened by the formula

a

(

L

)

F

=

G

i

2

dom

F

i

j

2

n

:

Src

F

j

F

i

y

¡

i

j

2

n

:

Dst

F

j

y

:

This formula can be (over)simplied to:

a

(

L

)

F

=

G

i

2

dom

F

¡

i

Src

F

F

i

y

(

i

Dst

F

)

y

:

Remark 32.

i

j

2

n

:

Src

F

j

F

i

¡

i

j

2

n

:

Dst

F

j

y

2

Mor

 `

j

2

n

(

Q

)

Src

F

j

;

`

j

2

n

(

Q

)

Dst

F

j

are properly

dened and have the same sources and destination (whenever

i

2

dom

F

is), thus the meet in the

formulas is properly dened.

General coproduct in partially ordered dagger category

5