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3.3 Category of continuous morphisms

Let

i

=

i

X

(for

i

2

dom

F

) be entirely dened monovalued morphisms (we suppose it is dened

at

X

).

Let

N

of an indexed family of morphisms is a morphism;

i

N

f

=

f

i

;

N

i

2

n

(

i

f

) =

f

.

Denition 24.

The category cont

(

C

)

is dened as follows:

Objects are endomorphisms of the category

C

.

Morphisms are triples

(

f

;

a

;

b

)

where

a

and

b

are objects and

f

:

Ob

a

!

Ob

b

is an entirely

dened monovalue principal morphism of the category

C

such that

f

2

C

(

a

;

b

)

(in other

words,

f

a

v

b

f

).

Composition of morphisms is dened by the formula

(

g

;

b

;

c

)

(

f

;

a

;

b

) = (

g

f

;

a

;

c

)

.

Identity morphisms are

(

a

;

a

;

id

a

C

)

.

It is really a category:

Proof.

We need to prove that: composition of morphisms is a morphism, composition is associative,

and identity morphisms can be canceled on the left and on the right.

That composition of morphisms is a morphism by properties of generalized continuity.
That composition is associative is obvious.
That identity morphisms can be canceled on the left and on the right is obvious.

Remark 25.

The physical meaning of this category is:

Objects (endomorphisms of

C

) are spaces.

Morphisms are continuous functions between spaces.

f

a

v

b

f

intuitively means that

f

combined with an innitely small is less than innitely

small combined with

f

(that is

f

is continuous).

Denition 26.

i

cont

(

C

)

=

 Q

(

L

)

F

;

F

i

;

i

.

Proposition 27.

i

are continuous, that is

i

cont

(

C

)

are morphisms.

Proof.

We need to prove

i

2

C

 Q

(

L

)

F

;

F

i

but that was proved above.

Lemma 28.

f

2

Mor

cont

(

C

)

Y

;

Q

(

L

)

F

is continuous i all

i

f

are continuous.

Proof.

)

.

Let

f

2

Mor

cont

(

C

)

Y

;

Q

(

L

)

F

. Then

f

Y

v

 Q

(

L

)

F

f

;

i

f

Y

v

i

 Q

(

L

)

F

f

;

i

f

Y

v

 Q

(

L

)

F

i

f

. Thus

i

f

is continuous.

(

.

Let all

i

f

be continuous. Then

i

cont

(

C

)

f

2

Mor

cont

(

C

)

(

Y

;

F

i

)

;

i

cont

(

C

)

f

Y

v

F

i

i

cont

(

C

)

f

. We need to prove

Y

v

f

y

 Q

(

L

)

F

f

that is

Y

v

f

y

l

i

2

n

((

i

)

y

F

i

i

)

f

for what is enough (because

f

is metamonovalued)

Y

v

l

i

2

n

(

f

y

(

i

)

y

F

i

i

f

)

what follows from

Y

v

d

i

2

n

(

f

y

(

i

)

y

i

f

Y

)

what is obvious.

4

Section 3