background image

Products in dagger categories with complete ordered

Mor-sets

by Victor Porton

Email:

porton@narod.ru

Web:

http://www.mathematics21.org

June 1, 2015

[TODO: This is a rough draft. It is not yet checked for errors.]

1 Prerequisites

I have made this article, except of its last section (about funcoids and reloids) self-contained.

To understand the section on funcoids and reloids you need rst read my book [

1

].

Note 1.

What I previosly denoted

Q

F

is now denoted

Q

(

L

)

F

(and likewise for

`

). The other

draft articles referring to this article may be not yet updated.

2 Some terminology

Some terminology from my book [

1

]:

Let

f

be a morphism

f

in a dagger category whose Mor-sets are complete lattices (with an

order

v

and lattice operations

F

and

d

), having the order agreed with the dagger.

Denition 2.

The morphism

f

is:

monovalued

i

f

f

y

v

1

Dst

f

;

injective

i

f

y

f

v

1

Src

f

;

entirely dened

i

f

y

f

w

1

Src

f

;

surjective

i

f

f

y

w

1

Dst

f

.

Denition 3.

A morphism

f

of a partially ordered category is

metamonovalued

when

(

d

G

)

f

=

d

g

2

G

(

g

f

)

whenever

G

is a set of funcoids with a suitable domain and image.

Denition 4.

A morphism

f

of a partially ordered category is

metainjective

when

f

(

d

G

) =

d

g

2

G

(

f

g

)

whenever

G

is a set of funcoids with a suitable domain and image.

Denition 5.

A morphism

f

of a partially ordered category is

metacomplete

when

f

(

F

G

) =

F

g

2

G

(

f

g

)

whenever

G

is a set of funcoids with a suitable domain and image.

Denition 6.

A morphism

f

of a partially ordered category is

co-metacomplete

when

(

F

G

)

f

=

F

g

2

G

(

g

f

)

whenever

G

is a set of funcoids with a suitable domain and image.

Obvious 7.

Every function

f

2

Mor

Set

(

A

;

B

)

considered as a morphism

f

2

Mor

Rel

(

A

;

B

)

is

monovalued, entirely dened, metamonovalued, metacomplete, and co-metacomplete.

Obvious 8.

Every morphism

f

2

Mor

Rel

(

A

;

B

)

is metacomplete and co-metacomplete.

Denition 9.

Let

and

are endomorphisms. A monovalued entirely dened morphism

f

2

Mor

(

Ob

;

Ob

)

is

continuous

(denoted

f

2

C

(

;

)

) i

f

v

f

.

In the book [

1

is proved:

1