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can be continued to the function

h

f

i

for a unique

f

FCD

(

A

;

B

)

;

h

f

iX

=

\

B

h

α

i

up

(

A

;

Z

0

)

X

(1)

for every

X ∈

A

.

2. A relation

δ

P

(

Z

0

×

Z

1

)

conforming to the formulas (for every

I , J , K

Z

0

and

I

, J

,

K

Z

1

)

¬

(0

Z

0

δ I

)

,

I

Z

0

J δ K

I δ K

J δ K

,

¬

(

I

δ

0

Z

1

)

, K δ I

Z

1

J

K δ I

K δ J

(2)

can be continued to the relation

[

f

]

for a unique

f

FCD

(

A

;

B

)

;

X

[

f

]

Y ⇔ ∀

X

up

(

A

;

Z

0

)

X

, Y

up

(

B

;

Z

1

)

Y

:

X δ Y

(3)

for every

X ∈

A

,

Y ∈

B

.

Proof.

Existence of no more than one such pointfree funcoids and formulas (1) and (3) follow

from two previous theorems.

2.

{

Y

Z

1

|

X δ Y

}

is obviously a free star for every

X

Z

0

. By properties of filters on boolean

lattices, there exist a unique filter object

αX

such that

(

αX

) =

{

Y

Z

1

|

X δ Y

}

for every

X

Z

0

.

Thus

α

B

Z

0

. Similarly it can be defined

β

A

Z

1

by the formula

(

βX

) =

{

X

Z

0

|

X δ Y

}

. Let’s

continue the functions

α

and

β

to

α

B

A

and

β

A

B

by the formulas

α

X

=

\

B

h

α

i

up

(

A

;

Z

0

)

X

and

β

X

=

\

A

h

β

i

up

(

B

;

Z

1

)

X

and

δ

to

δ

P

(

A

×

B

)

by the formula

X

δ

Y ⇔ ∀

X

up

(

A

;

Z

0

)

X

, Y

up

(

B

;

Z

1

)

Y

:

X δ Y .

Y ∩

B

α

X

0

B

⇔ Y ∩

B

T

B

h

α

i

up

(

A

;

Z

0

)

X

0

B

T

B

hY ∩

B

ih

α

i

up

(

A

;

Z

0

)

X

0

B

. Let’s prove that

W

=

hY ∩

B

ih

α

i

up

(

A

;

Z

0

)

X

is a generalized filter base: To prove it is enough to show that

h

α

i

up

(

A

;

Z

0

)

X

is a generalized filter

base.

If

A

,

B ∈ h

α

i

up

(

A

;

Z

0

)

X

then exist

X

1

, X

2

up

(

A

;

Z

0

)

X

such that

A

=

αX

1

and

B

=

αX

2

.

Then

α

(

X

1

Z

0

X

2

)

∈ h

α

i

up

X

. So

h

α

i

up

X

is a generalized filter base and thus

W

is a generalized

filter base.

By properties of generalized filter bases,

T

B

hY ∩

B

ih

α

i

up

(

A

;

Z

0

)

X

0

B

is equivalent to

X

up

(

A

;

Z

0

)

X

:

Y ∩

B

αX

0

B

,

what is equivalent to

X

up

(

A

;

Z

0

)

X

, Y

up

(

B

;

Z

1

)

Y

:

Y

B

α X

0

B

⇔ ∀

X

up

(

A

;

Z

0

)

X

,

Y

up

(

B

;

Z

1

)

Y

:

Y

(

α X

)

⇔ ∀

X

up

(

A

;

Z

0

)

X

, Y

up

(

B

;

Z

1

)

Y

:

X δ Y

. Combining the

equivalencies we get

Y ∩

B

α

X

0

X δ

Y

. Analogously

X ∩

A

β

Y

0

A

X δ

Y

. So

Y ∩

B

α

X

0

B

⇔ X ∩

A

β

Y

0

A

, that is

(

A

;

B

;

α

;

β

)

is a pointfree funcoid. From the formula

Y ∩

B

α

X

∅ ⇔

X δ

Y

follows that

[(

A

;

B

;

α

;

β

)]

is a continuation of

δ

.

1. Let define the relation

δ

P

(

Z

0

×

Z

1

)

by the formula

X δ Y

Y

B

α X

0

B

.

That

¬

(0

Z

0

δ I

)

and

¬

(

I δ

0

Z

1

)

is obvious. We have

K δ I

Z

1

J

(

I

Z

1

J

)

B

αK

0

B

(

I

B

J

)

B

αK

0

B

(

I

B

αK

)

B

(

J

B

α K

)

0

B

I

B

αK

0

B

J

B

αK

0

B

K δ I

K δ J

and

I

Z

0

J δ K

K

B

α

(

I

Z

0

J

)

0

B

K

B

(

α I

B

α J

)

0

B

(

K

B

αI

)

B

(

K

B

α J

)

0

B

K

B

α I

0

B

K

B

αJ

0

B

I δ K

J δ K

.

That is the formulas (2) are true.
Accordingly the above

δ

can be continued to the relation

[

f

]

for some

f

FCD

(

A

;

B

)

.

X

Z

0

, Y

Z

1

: (

Y

B

h

f

i

X

0

X

[

f

]

Y

Y

B

αX

0

B

)

, consequently

X

Z

0

:

αX

=

h

f

i

X

because our filtrator is with separable core. So

h

f

i

is a continuation of

α

.

Proposition 27.

Let

(

Src

f

;

Z

0

)

is a primary filtrator over a bounded distributive lattice element

and

(

Dst

f

;

Z

1

)

is a primary filtrator over a distributive lattice. If

S

is a generalized filter base on

Src

f

then

h

f

i

T

Src

f

S

=

T

Dst

f

hh

f

ii

S

for every pointfree funcoid

f

.

Pointfree funcoids

5