background image

2.

T

A

S

is a closed element.

Proof.

h

f

i

(

i

A

j

) =

h

f

i

i

A

h

f

i

j

i

A

j

(theorem 15),

h

f

i

T

A

S

T

A

hh

f

ii

S

T

A

S

.

Consequently the elements

i

A

j

and

T

A

S

are closed.

Proposition 100.

If

S

is a set of elements closed regarding a complete pointfree funcoid

f

, then

the element

S

Src

f

S

is also closed regarding our funcoid.

Proof.

h

f

i

S

Src

f

S

=

S

Dst

f

hh

f

ii

S

S

Dst

f

S

.

3.15 Connectedness regarding a pointfree funcoid

Let

A

is a poset with least element. Let

f

FCD

(

A

;

A

)

.

Definition 101.

An element

a

A

is called

connected

regarding a pointfree funcoid

µ

over

A

when

x, y

A

\ {

0

A

}

: (

x

A

y

=

a

x

[

µ

]

y

)

.

Proposition 102.

Let

(

A

;

Z

)

is a co-separable filtrator. An

A

Z

is connected regarding a funcoid

µ

iff

X , Y

Z

\ {

0

Z

}

: (

X

Z

Y

=

A

X

[

µ

]

Y

)

.

Proof.

.

Obvious.

.

Follows from co-separability.

Obvious 103.

For

A

being a set of filters over a boolean lattice, an element

a

A

is connected

regarding a pointfree funcoid

µ

iff it is connected regarding the funcoid

µ

FCD

(

a

×

FCD

(

A

;

A

)

a

)

.

Bibliography

[1]

PlanetMath. Criteria for a poset to be a complete lattice. At

http://planetmath.org/encyclopedia/Cri-

teriaForAPosetToBeACompleteLattice.html

.

[2]

Victor Porton. Funcoids and reloids. At

http://www.mathematics21.org/binaries/funcoids-reloids.pdf

.

[3]

Victor Porton. Filters on posets and generalizations.

International Journal of Pure and Applied Mathe-

matics

, 74(1):55–119, 2012.

20

Section