background image

2. A morphism

(

f

;

A

;

B

;

A

;

B

)

of the category of pointfree funcoid triples is injective iff the

funcoid

f

is injective.

Theorem 96.

Let

A

is an atomistic meet-semilattice,

B

is a bounded meet-semilattice. The

following statements are equivalent for every

f

FCD

(

A

;

B

)

:

1.

f

is monovalued.

2.

a

atoms

A

:

h

f

i

a

atoms

B

∪ {

0

B

}

.

3.

i, j

A

:

h

f

1

i

(

i

B

j

) =

h

f

1

i

i

A

h

f

1

i

j

.

Proof.

(2)

(3).

Let

a

atoms

A

,

h

f

i

a

=

b

. Then because

b

atoms

B

∪ {

0

B

}

(

i

B

j

)

B

b

0

B

i

B

b

0

B

j

B

b

0

B

;

a

[

f

] (

i

B

j

)

a

[

f

]

i

a

[

f

]

j

;

(

i

B

j

) [

f

1

]

a

i

[

f

1

]

a

j

[

f

1

]

a

;

a

A

h

f

1

i

(

i

B

j

)

0

A

a

A

h

f

1

i

i

0

A

a

A

h

f

1

i

j

0

A

;

a

A

h

f

1

i

(

i

B

j

)

0

A

a

A

h

f

1

i

i

A

h

f

1

i

j

0

A

;

h

f

1

i

(

i

B

j

) =

h

f

1

i

i

B

h

f

1

i

j.

(3)

(1).

h

f

1

i

a

A

h

f

1

i

b

=

h

f

1

i

(

a

B

b

) =

h

f

1

i

0

B

= 0

A

for every two distinct

a,

b

atoms

B

. This is equivalent to

¬

(

h

f

1

i

a

[

f

]

b

)

;

b

B

h

f

ih

f

1

i

a

= 0

;

b

B

h

f

f

1

i

a

= 0

B

;

¬

(

a

[

f

f

1

]

b

)

. So

a

[

f

f

1

]

b

a

=

b

for every

a, b

atoms

B

. This is possible only

(corollary 53) when

f

f

1

1

B

.

¬

(2)

⇒¬

(1).

Suppose

h

f

i

a

atoms

B

∪ {

0

B

}

for some

a

atoms

A

. Then there exist two

atoms

p

q

such that

h

f

i

a

p

∧ h

f

i

a

q

. Consequently

p

B

h

f

i

a

0

B

;

a

A

h

f

1

i

p

0

A

;

a

⊆ h

f

1

i

p

;

h

f

f

1

i

p

=

h

f

ih

f

1

i

p

⊇ h

f

i

a

q

;

h

f

f

1

i

p

*

p

and

h

f

f

1

i

p

0

B

. So it

cannot be

f

f

1

1

B

.

Theorem 97.

Let

(

B

;

Z

1

)

is a primary filtrator over a meet-semilattice with greatest element

and

(

A

;

Z

0

)

is a primary filtrator over a boolean lattice. A pointfree funcoid

f

FCD

(

A

;

B

)

is

monovalued iff

I , J

Z

0

:

h

f

1

i

(

I

Z

1

J

) =

h

f

1

i

I

A

h

f

1

i

J .

Proof.

A

and

B

are complete lattices (corollary 8 in [3]).

(

B

;

Z

1

)

is a filtrator with separable core by the theorem 37 in [3].

(

B

;

Z

1

)

is finitely meet-closed by the theorem 29 in [3].

A

is an atomistic lattice by the theorem 48 in [3].

We are under conditions of the previous theorem.

.

Obvious.

.

h

f

1

i

(

I ∩

B

J

) =

T

A

hh

f

1

ii

up

(

B

;

Z

1

)

(

I ∩

B

J

) =

T

A

hh

f

1

ii{

I

Z

1

J

|

I

up

I

, J

up

J }

=

T

A

{h

f

1

i

(

I

Z

1

J

)

|

I

up

I

, J

up

J }

=

T

A

{h

f

1

i

I

A

h

f

1

i

J

|

I

up

I

,

J

up

J }

=

T

A

{h

f

1

i

I

|

I

up

I } ∩

A

T

A

{h

f

1

i

J

|

J

up

J }

=

h

f

1

iI ∩

A

h

f

1

iJ

(used

theorem 25, theorem 34 in [3], theorem 15).

3.14 Elements closed regarding a pointfree funcoid

Let

A

is a poset with least element. Let

f

FCD

(

A

;

A

)

.

Definition 98.

Let’s call

closed

regarding a pointfree funcoid

f

such element

a

A

that

h

f

i

a

a

.

Proposition 99.

If

i

and

j

are closed (regarding a pointfree funcoid

f

FCD

(

A

;

A

)

),

S

is a set

of closed elements (regarding

f

), then

1.

i

A

j

is a closed element, if

A

is a separable starrish join-semilattice;

Pointfree funcoids

19