background image

2.

h

g

f

i

Z

0

=

h

g

ih

f

i

Z

0

Z

2

because

h

f

i

Z

0

Z

1

.

Proposition 87.

Let

(

A

;

Z

0

)

and

(

B

;

Z

1

)

are primary filtrators over boolean lattices and

Z

0

is a

complete boolean lattice. Then CoCompl

FCD

(

A

;

B

)

(with induced order) is a complete lattice.

Proof.

Follows from the theorem 85.

3.12 Completion and co-completion

Definition 88.

Let

(

A

;

Z

0

)

and

(

B

;

Z

1

)

are primary filtrators over boolean lattices and

Z

1

is a

complete lattice.

Co-completion

of a pointfree funcoid

f

FCD

(

A

;

B

)

is pointfree funcoid CoCompl

f

defined

by the formula (for every

X

Z

0

)

h

CoCompl

f

i

X

=

Cor

h

f

i

X.

Proposition 89.

Above defined co-completion always exists.

Proof.

Existence of Cor

h

f

i

X

follows from completeness of

Z

1

.

We may apply the theorem 26 because

Cor

h

f

i

(

X

Z

0

Y

) =

Cor

(

h

f

i

X

B

h

f

i

Y

) =

Cor

h

f

i

X

B

Cor

h

f

i

Y

by the theorem 65 in [3].

Proposition 90.

h

CoCompl

f

i

X

=

Cor

h

f

i

X.

Proof.

From the theorem 26 in [3]. (Existence of Cor

h

f

i

X

follows from completeness of

Z

1

.)

Obvious 91.

Co-completion is always co-complete.

Obvious 92.

For above defined always CoCompl

f

f

.

3.13 Monovalued and injective pointfree funcoids

Definition 93.

Let

A

and

B

are posets. Let

f

FCD

(

A

;

B

)

.

The pointfree funcoid

f

is:

monovalued

when

f

f

1

1

B

if

B

has a greatest element.

injective

when

f

1

f

1

A

if

A

has a greatest element.

Monovaluedness is dual of injectivity.

Proposition 94.

Let

A

and

B

are posets. Let

f

FCD

(

A

;

B

)

.

The pointfree funcoid

f

is:

monovalued iff

f

f

1

I

im

f

FCD

(

B

)

, if

B

is a meet-semilattice;

injective iff

f

1

f

I

dom

f

FCD

(

A

)

, if

A

is a meet-semilattice.

Proof.

It’s enough to prove

f

f

1

1

B

f

f

1

I

im

f

FCD

(

B

)

.

.

Obvious.

.

Let

f

f

1

1

B

. Then

h

f

f

1

i

x

x

and

h

f

f

1

i

x

im

f

. Thus

h

f

f

1

i

x

x

B

im

f

=

D

I

im

f

FCD

(

B

)

E

x.

Thus

f

f

1

I

im

f

FCD

(

B

)

.

Obvious 95.

1. A morphism

(

f

;

A

;

B

;

A

;

B

)

of the category of pointfree funcoid triples is monovalued iff the

funcoid

f

is monovalued.

18

Section 3