 Theorem 84.

Let

(

A

;

Z

0

)

is semifiltered, star-separable, down-aligned filtrator with finitely meet

closed, join-closed, and separable core, where

Z

0

is a complete boolean lattice and both

Z

0

and

A

are atomistic lattices.

Let

(

B

;

Z

1

)

is a star-separable filtrator.

The following conditions are equivalent for every pointfree funcoid

f

FCD

(

A

;

B

)

:

1.

f

1

is co-complete;

2.

S

P

A

, J

Z

1

: (

S

A

S

[

f

]

J

⇒ ∃I ∈

S

:

I

[

f

]

J

)

;

3.

S

P

Z

0

, J

Z

1

: (

S

Z

0

S

[

f

]

J

⇒ ∃

I

S

:

I

[

f

]

J

)

;

4.

f

is complete;

5.

S

P

Z

0

:

h

f

i

S

Z

0

S

=

S

B

hh

f

ii

S

.

Proof.

First note that the theorem 53 in  applies to the filtrator

(

A

;

Z

0

)

.

(3)

(1).

For every

S

P

Z

0

,

J

Z

1

[

Z

0

S

A

h

f

1

i

J

0

A

⇒ ∃

I

S

:

I

A

h

f

1

i

J

0

A

,

(9)

consequently by the theorem 53 in  we have

h

f

1

i

J

Z

0

.

(1)

(2).

For every

S

P

A

,

J

Z

1

we have

h

f

1

i

J

Z

0

, consequently the formula (9) is true.

From this follows (2).

(2)

(4).

Let

h

f

i

S

Z

0

S

and

S

B

hh

f

ii

S

are defined.

J

B

h

f

i

S

A

S

0

B

S

A

S

[

f

]

J

⇔ ∃I ∈

S

:

I

[

f

]

J

⇔ ∃I ∈

S

:

J

B

h

f

iI

0

B

J

B

S

B

hh

f

ii

S

0

B

(used the theorem 53 in ). Thus

h

f

i

S

A

S

=

S

B

hh

f

ii

S

by star-separability of

(

B

;

Z

1

)

.

(5)

(3).

Let

h

f

i

S

Z

0

S

is defined. Then

S

B

hh

f

ii

S

is also defined because

h

f

i

S

Z

0

S

=

S

B

hh

f

ii

S

. Then

S

Z

0

S

[

f

]

J

J

B

h

f

i

S

Z

0

S

0

B

J

B

S

B

hh

f

ii

S

0

B

what

by the theorem 53 in  equivalent to

I

S

:

J

B

h

f

i

I

0

B

that is

I

S

:

I

[

f

]

J

.

(2)

(3), (4)

(5).

By join-closedness of the core of

(

A

;

Z

0

)

.

Theorem 85.

Let

(

A

;

Z

0

)

and

(

B

;

Z

1

)

are primary filtrators over boolean lattices and

Z

0

is

a complete boolean lattice. If

R

is a set of co-complete pointfree funcoids in

FCD

(

A

;

B

)

then

S

FCD

(

A

;

B

)

R

is a co-complete pointfree funcoid.

Proof.

First, conditions of the theorem 84 apply.

Let

R

is a set of co-complete pointfree funcoids. Then for every

X

Z

0

[

FCD

(

A

;

B

)

R

X

=

[

Z

1

{h

f

i

X

|

f

R

} ∈

Z

1

(used the theorem 30).

Let

A

and

B

are posets with least elements. I will denote Compl

FCD

(

A

;

B

)

and

CoCompl

FCD

(

A

;

B

)

the sets of complete and co-complete funcoids correspondingly from a poset

A

to a poset

B

with least elements.

Proposition 86.

1. Let

f

Compl

FCD

(

A

;

B

)

and

g

Compl

FCD

(

B

;

C

)

where

A

and

C

are posets with least

elements and

B

is a complete lattice. Then

g

f

Compl

FCD

(

A

;

C

)

.

2. Let

f

CoCompl

FCD

(

A

;

B

)

and

g

CoCompl

FCD

(

B

;

C

)

where

A

,

B

and

C

are posets with

least elements and

(

A

;

Z

0

)

,

(

B

;

Z

1

)

,

(

C

;

Z

2

)

are filtrators. Then

g

f

CoCompl

FCD

(

A

;

C

)

.

Proof.

1. Let

S

A

S

and

S

C

hh

g

f

ii

S

are defined. Then

h

g

f

i

[

A

S

=

h

g

ih

f

i

[

A

S

=

h

g

i

[

B

hh

f

ii

S

=

[

C

hh

g

iihh

f

ii

S

=

[

C

hh

g

f

ii

S.

Pointfree funcoids

17