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Proof.

Let

f

FCD

(

A

;

B

)

and

f

0

FCD

(

A

;

B

)

. Then dom

f

0

A

, thus exists

a

atoms

A

dom

f

. So

h

f

i

a

0

B

thus exists

b

atoms

B

h

f

i

a

. Finally the atomic pointfree funcoid

a

×

FCD

b

f

.

Theorem 71.

Let

A

,

B

are sets of filters over boolean lattices. Then the poset

FCD

(

A

;

B

)

is

separable.

Proof.

Let

f , g

FCD

(

A

;

B

)

,

f

g

. Then taking in account the theorem 51 exists

a

atoms

A

such that

h

f

i

a

⊂ h

g

i

a

. By corollary 17 in [3]

B

is atomically separable. So exists

b

atoms

B

such

that

h

f

i

a

B

b

= 0

B

and

b

⊆ h

g

i

a

. For every

x

atoms

A

h

f

i

a

B

h

a

×

FCD

b

i

a

=

h

f

i

a

B

b

=0

B

,

x

a

⇒ h

f

i

x

B

h

a

×

FCD

b

i

x

=

h

f

i

x

B

0

B

= 0

B

.

Thus

h

f

i

x

B

h

a

×

b

i

x

= 0

B

and consequently

f

FCD

(

A

;

B

)

(

a

×

FCD

b

) = 0

B

.

h

a

×

FCD

b

i

a

=

b

⊆ h

g

i

a,

x

a

⇒ h

a

×

FCD

b

i

x

= 0

B

⊆ h

g

i

a.

Thus

h

a

×

FCD

b

i

x

⊆ h

g

i

x

and consequently

a

×

FCD

b

g

.

So the lattice of funcoids is separable by the theorem 19 in [3].

Corollary 72.

Let

A

,

B

are sets of filters over boolean lattices. The poset

FCD

(

A

;

B

)

is:

1. separable;

2. atomically separable;

3. conforming to Wallman’s disjunction property.

Proof.

By the theorem 22 in [3].

Remark 73.

For more ways to characterize (atomic) separability of the lattice of pointfree funcoids

see [3], subsections “Separation subsets and full stars” and “Atomically separable lattices”.

Corollary 74.

Let

(

A

;

Z

0

)

and

(

B

;

Z

1

)

are primary filtrators over boolean lattices. The poset

FCD

(

A

;

B

)

is an atomistic lattice.

Proof.

By the theorem 30

FCD

(

A

;

B

)

is a complete lattice. Let

f

FCD

(

A

;

B

)

. Suppose contrary

to the statement to be proved that

S

FCD

(

A

;

B

)

atoms

FCD

(

A

;

B

)

f

f

. Then exists

a

atoms

FCD

(

A

;

B

)

f

such that

a

FCD

(

A

;

B

)

S

F C D

(

A

;

B

)

atoms

FCD

(

A

;

B

)

f

= 0

FCD

(

A

;

B

)

what is impossible.

Proposition 75.

Let

A

,

B

are sets of filters over boolean lattices.

atoms

FCD

(

A

;

B

)

(

f

FCD

(

A

;

B

)

g

) =

atoms

FCD

(

A

;

B

)

f

atoms

FCD

(

A

;

B

)

g

for every

f , g

FCD

(

A

;

B

)

.

Proof.

(

a

×

FCD

b

)

FCD

(

A

;

B

)

(

f

FCD

(

A

;

B

)

g

)

∅ ⇔

a

f

FCD

(

A

;

B

)

g

b

a

[

f

]

b

a

[

g

]

b

(

a

×

FCD

b

)

FCD

(

A

;

B

)

f

0

FCD

(

A

;

B

)

(

a

×

FCD

b

)

FCD

(

A

;

B

)

g

0

FCD

(

A

;

B

)

for every

a

atoms

A

and

b

atoms

B

(used the corollary 63 and theorem 32).

Theorem 76.

Let

(

A

;

Z

0

)

and

(

B

;

Z

1

)

are primary filtrators over boolean lattices. For every

f ,

g, h

FCD

(

A

;

B

)

,

R

P

FCD

(

A

;

B

)

:

1.

f

FCD

(

A

;

B

)

(

g

FCD

(

A

;

B

)

h

) = (

f

FCD

(

A

;

B

)

g

)

FCD

(

A

;

B

)

(

f

FCD

(

A

;

B

)

h

)

;

2.

f

FCD

(

A

;

B

)

T

FCD

(

A

;

B

)

R

=

T

FCD

(

A

;

B

)

f

FCD

(

A

;

B

)

R

.

Proof.

We will take in account that the lattice of funcoids is an atomistic lattice (corollary 74).

To be concise I will write atoms instead of atoms

FCD

(

A

;

B

)

and

and

instead of

FCD

(

A

;

B

)

and

FCD

(

A

;

B

)

.

1. atoms

(

f

(

g

h

)) =

atoms

f

atoms

(

g

h

) =

atoms

f

(

atoms

g

atoms

h

) = (

atoms

f

atoms

g

)

(

atoms

f

atoms

h

) =

atoms

(

f

g

)

atoms

(

f

h

) =

atoms

((

f

g

)

(

f

h

))

.

Pointfree funcoids

15