background image

For every

A

0

,

A

1

A

and

B

0

,

B

1

B

(

A

0

×

FCD

B

0

)

FCD

(

A

;

B

)

(

A

1

×

FCD

B

1

) = (

A

0

FCD

(

A

;

B

)

A

1

)

×

FCD

(

B

0

FCD

(

A

;

B

)

B

1

)

.

Proof.

(

A

0

×

FCD

B

0

)

FCD

(

A

;

B

)

(

A

1

×

FCD

B

1

) =

T

FCD

(

A

;

B

)

{A

0

×

FCD

B

0

,

A

1

×

FCD

B

1

}

what is by the

last theorem equal to

(

A

0

FCD

(

A

;

B

)

A

1

)

×

FCD

(

B

0

FCD

(

A

;

B

)

B

1

)

.

Theorem 67.

Let

(

A

;

Z

0

)

and

(

B

;

Z

1

)

are primary filtrators over boolean lattices. If

A ∈

A

then

A ×

FCD

is a complete homomorphism of the lattice

A

to a the lattice

FCD

(

A

;

B

)

, if also

A

0

A

then it is an order embedding.

Proof.

Let

S

P

A

,

X

Z

0

,

x

atoms

A

.

 [

FCD

(

A

;

B

)

hA ×

FCD

i

S

X

=

[

B

{hA ×

FCD

B i

X

| B ∈

S

}

=

(

S

B

S

if

X

A

A

0

A

;

0

B

if

X

A

A

= 0

A

=

A ×

FCD

[

B

S

X.

Thus

S

FCD

(

A

;

B

)

hA ×

FCD

i

S

=

A ×

FCD

S

B

S

by the theorem 25 (taking in account obvious 20 in [3]).

 \

FCD

(

A

;

B

)

hA ×

FCD

i

S

x

=

\

B

{hA ×

FCD

B i

x

| B ∈

S

}

=

(

T

B

S

if

x

A

A

0

A

;

0

B

if

x

A

A

= 0

A

=

A ×

FCD

\

B

S

x.

Thus

T

FCD

(

A

;

B

)

hA ×

FCD

i

S

=

A ×

FCD

T

B

S

by the theorem 56.

If

A

0

A

then obviously the function

A ×

FCD

is injective.

Proposition 68.

Let

A

is a meet-semilattice and

B

is a poset with least element. If

a

is an atom

of

A

,

f

FCD

(

A

;

B

)

then

f

|

a

=

a

×

FCD

h

f

i

a

.

Proof.

Let

X ∈

A

.

X ∩

A

a

0

A

⇒ h

f

|

a

iX

=

h

f

i

a,

X ∩

A

a

= 0

A

⇒ h

f

|

a

iX

= 0

B

.

3.10 Atomic pointfree funcoids

Theorem 69.

Let

A

,

B

are sets of filters over boolean lattices. A

f

FCD

(

A

;

B

)

is an atom of

the poset

FCD

(

A

;

B

)

iff there exist

a

atoms

A

and

b

atoms

B

such that

f

=

a

×

FCD

b

.

Proof.

A

and

B

are atomic by the theorem 47 in [3].

.

Let

f

is an atom of the poset

FCD

(

A

;

B

)

. Let’s get elements

a

atoms

A

dom

f

and

b

atoms

B

h

f

i

a

. Then for every

X ∈

A

X ≍

A

a

⇒ h

a

×

FCD

b

iX

= 0

B

⊆ h

f

iX

,

X

A

a

⇒ h

a

×

FCD

b

iX

=

b

⊆ h

f

iX

.

So

a

×

FCD

b

f

; because

f

is atomic we have

f

=

a

×

FCD

b

.

.

Let

a

atoms

A

,

b

atoms

B

,

f

FCD

(

A

;

B

)

. If

b

B

h

f

i

a

then

¬

(

a

[

f

]

b

)

,

f

FCD

(

A

;

B

)

(

a

×

FCD

b

) = 0

FCD

(

A

;

B

)

(because

A

and

B

are bounded meet-semilattices); if

b

h

f

i

a

then

∀X ∈

A

: (

X

A

a

⇒ h

f

iX ⊇

b

)

,

f

a

×

FCD

b

. Consequently

f

FCD

(

A

;

B

)

(

a

×

FCD

b

) =

0

FCD

(

A

;

B

)

f

a

×

FCD

b

; that is

a

×

FCD

b

is an atomic filter object.

Theorem 70.

Let

A

,

B

are sets of filters over boolean lattices. Then

FCD

(

A

;

B

)

is atomic.

14

Section 3