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Proposition 52.

Let

f

is a pointfree funcoid. Then for every

X ∈

Src

f

and

Y ∈

Dst

f

1.

X

[

f

]

Y ⇔ ∃

x

atoms

Src

f

X

:

x

[

f

]

Y

if Src

f

is an atomic poset.

2.

X

[

f

]

Y ⇔ ∃

y

atoms

Dst

f

Y

:

X

[

f

]

y

if Dst

f

is an atomic poset.

Proof.

I will prove only the second as the first is similar.

If

X

[

f

]

Y

, then

Y

Dst

f

h

f

iX

, consequently exists

y

atoms

Dst

f

Y

such that

y

Dst

f

h

f

iX

,

X

[

f

]

y

. The reverse is obvious.

Corollary 53.

If

f

is a pointfree funcoid with both source and destination being atomic posets,

then for every

X ∈

Src

f

and

Y ∈

Dst

f

X

[

f

]

Y ⇔ ∃

x

atoms

Src

f

X

, y

atoms

Dst

f

Y

:

x

[

f

]

y.

Proof.

Apply the theorem twice.

Corollary 54.

If

A

is a separable atomic poset and

B

is an atomistic poset then

f

is determined

by the values of

h

f

i

X

for

X

atoms

A

.

Proof.

y

Dst

f

h

f

i

x

x

Src

f

h

f

1

i

y

⇔ ∃

X

atoms

x

:

X

Src

f

h

f

1

i

y

⇔ ∃

X

atoms

x

:

y

Dst

f

h

f

i

X

.

Thus by atomisticity

h

f

i

is determined by

h

f

i

X

for

X

atoms

x

.

By separability of

A

we infer that

f

can be restored from

h

f

i

.

Theorem 55.

Let

(

A

;

Z

0

)

and

(

B

;

Z

1

)

are primary filtrators over boolean lattices.

1. A function

α

B

atoms

A

such that (for every

a

atoms

A

)

α a

\

B

 [

B

◦ h

α

i ◦

atoms

A

up

(

A

;

Z

0

)

a

(5)

can be continued to the function

h

f

i

for a unique

f

FCD

(

A

;

B

)

;

h

f

iX

=

[

B

h

α

i

atoms

A

X

(6)

for every

X ∈

A

.

2. A relation

δ

P

(

atoms

A

×

atoms

B

)

such that (for every

a

atoms

A

,

b

atoms

B

)

X

up

(

A

;

Z

0

)

a, Y

up

(

B

;

Z

1

)

b

x

atoms

A

X , y

atoms

B

Y

:

x δ y

a δ b

(7)

can be continued to the relation

[

f

]

for a unique

f

FCD

(

A

;

B

)

;

X

[

f

]

Y ⇔ ∃

x

atoms

A

X

, y

atoms

B

Y

:

x δ y

(8)

for every

X ∈

A

,

Y ∈

B

.

Proof.

Existence of no more than one such funcoids and formulas (6) and (8) follow from the

theorem 51 and corollary 53 and the fact that our filtrators are with separable core.

1. Consider the function

α

B

Z

0

defined by the formula (for every

X

Z

0

)

α

X

=

[

B

h

α

i

atoms

A

X.

Obviously

α

0

Z

0

= 0

B

. For every

I , J

Z

0

α

(

I

J

) =

[

B

h

α

i

atoms

B

(

I

J

)

=

[

B

h

α

i

(

atoms

B

I

atoms

B

J

)

=

[

B

(

h

α

i

atoms

B

I

∪ h

α

i

atoms

B

J

)

=

[

B

h

α

i

atoms

B

I

B

[

B

h

α

i

atoms

B

J .

=

α

I

B

α

J .

10

Section 3