background image

Pointfree Funcoids

by Victor Porton

Web:

http://www.mathematics21.org

October 13, 2012

Abstract

It is a part of my Algebraic General Topology research.

I generalize the point-set notion of funcoids to pointfree topology notion of

pointfree

funcoids

.

In my yet unpublished research pointfree funcoids are used to define products of funcoids.

Keywords:

algebraic general topology, funcoids, reloids

A.M.S. subject classification:

54J05, 54A05, 54D99, 54E05, 54E15, 54E17, 54E99

Table of contents

1 Preface

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Notation

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

3 Pointfree funcoids

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3.2 Composition of pointfree funcoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3.3 Pointfree funcoid as continuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.4 The preorder of pointfree funcoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.5 More on composition of pointfree funcoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.6 Domain and range of a pointfree funcoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.7 Category of pointfree funcoids

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.8 Specifying funcoids by functions or relations on atomic filter objects . . . . . . . . . . . 9
3.9 Direct product of elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

3.10 Atomic pointfree funcoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

3.11 Complete pointfree funcoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

3.12 Completion and co-completion

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

3.13 Monovalued and injective pointfree funcoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

3.14 Elements closed regarding a pointfree funcoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

3.15 Connectedness regarding a pointfree funcoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

Bibliography

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1 Preface

This article generalizes the notions of funcoids introduced in [2], I call this generalization

pointfree

funcoids

.

In my yet unpublished research pointfree funcoids are used to define products of funcoids.

2 Notation

First we use the notation introduced in [3] and [2].

. This document has been written using the GNU TEX

MACS

text editor (see

www.texmacs.org

).

1